[WIP] Add post. Modèle de Solow.
Description des propriétés de la fonction de production néoclassique.master
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#+LANGUAGE: fr
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#+TITLE: Modèle de Solow
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#+DATE: Février 2022
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#+AUTHOR: Stéphane Adjemian
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#+EMAIL: stephane.adjemian@univ-lemans.fr
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#+BEGIN_QUOTE
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||||
Cette note propose une présentation alternative du modèle de Solow. La
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présentation est plus générale que celle vue en cours. Par exemple, la forme de
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la fonction de production de production n'est pas postulée (en cours nous avons,
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pour l'essentiel, travaillé avec une fonction de production Cobb-Douglas). Dans
|
||||
ce cadre plus général nous établissons l'existence et la stabilité globale de
|
||||
l'état stationnaire, et étudions la dynamique de la vitesse d'ajustement vers
|
||||
l'état stationnaire.
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#+END_QUOTE
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* La fonction de production
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Nous savons déjà que les propriétés du modèle de Solow découle pour l'essentiel
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des propriétés de la fonction de production. Nous commençons donc par décrire
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de façon générale la technologie de production. Celle-ci détermine la quantité
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produite de bien homogène à partir des quantités de capital physique et de
|
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travail. On suppose qu'il existe une fonction continue $F$ de $\mathbb R_+^2$ dans
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$\mathbb R_+$ de classe $\mathcal C^2$ :
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\[
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Y = F(K, L)
|
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\]
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où $Y$, $K$ et $L$ sont respectivement les quantités de bien, de capital
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physique et de travail.
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On suppose que $F$ est une fonction de production de type néoclassique,
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||||
c'est-à-dire qu'elle vérifie les propriétés suivantes[fn:1: On reprend la
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définiton donnée dans Barro et Sala-i-Martin] :
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\\
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[[color:red][(N1)]] La fonction $F$ est homogène de degré 1.
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[[color:red][(N2)]] Les dérivées partielles $\frac{\partial F}{\partial K}$ et $\frac{\partial F}{\partial L}$ sont positives.
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||||
|
||||
[[color:red][(N3)]] Les dérivées secondes $\frac{\partial^2 F}{\partial K^2}$ et $\frac{\partial^2 F}{\partial L^2}$ sont négatives.
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||||
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|
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[[color:red][(N4)]] Les conditions d'Inada : $\lim_{K\rightarrow 0}\frac{\partial F}{\partial K}=\lim_{L\rightarrow 0}\frac{\partial F}{\partial L}=\infty$ et $\lim_{K\rightarrow\infty}\frac{\partial F}{\partial K}=\lim_{L\rightarrow\infty}\frac{\partial F}{\partial L}=0$.
|
||||
|
||||
\\
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||||
|
||||
|
||||
L'homogénéité de degré 1 de la fonction de production formalise l'hypothèse de
|
||||
rendement d'échelle constant. La fonction $F$ est homogène de degré 1 si et
|
||||
seulement si pour tout $\lambda>0$ on a :
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\[
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||||
F(\lambda K, \lambda L) = \lambda F(K, L)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Si les quantités de facteurs de production sont multipliées par deux alors la
|
||||
production doit être multipliée par exactement deux. On verra plus bas que cette
|
||||
propriété est indispensable pour réécrire la technologie sous une forme
|
||||
intensive (c'est-à-dire pour exprimer la production par tête en fonction du
|
||||
stock de capital physique par tête) et qu'elle a des conséquences sur les
|
||||
productivités marginales et le profit des firmes.
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||||
La condition sur les dérivées partielles, c'est-à-dire sur les productivités
|
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marginales, nous dit que toutes choses égales par ailleurs si la quantité d'un
|
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facteur augmente alors la production doit augmenter.
|
||||
|
||||
La condition sur les dérivées secondes nous dit que les productivités marginales
|
||||
sont décroissantes. Toutes choses égales par ailleurs, quand la quantité de capital
|
||||
physique augmente la productivité marginale du capital diminue.
|
||||
|
||||
Enfin les conditions d'Inada posent des restrictions aux bords sur les
|
||||
productivités marginales. On verra plus loin qu'elles sont essentielles pour
|
||||
assurer l'existence d'un état stationnaire non trivial (c'est-à-dire positif)
|
||||
dans le modèle de Solow.
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||||
|
||||
Si une fonction de production $F$ vérifie les conditions [[color:red][(N1)]]-[[color:red][(N4)]] alors on peut
|
||||
déduire les propriétés suivantes.
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#+BEGIN_property
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||||
Les facteurs de production sont essentiels dans le sens où $F(0,L)=F(K,0)=0$ pour tout $(K,L)\in\mathbb R_+^2$.
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#+END_property
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|
||||
Cette propriété nous dit qu'il n'est pas possible de produire en l'absence d'un
|
||||
des deux facteurs de production. La fonction de production doit donc « passer »
|
||||
par l'origine.
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#+BEGIN_proof
|
||||
Montrons que le travail est essentiel à la production. Commençons par noter que
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||||
la productivité moyenne du capital peut s'écrire comme une fonction monotone
|
||||
croissante de $L/K$ en exploitant l'homogénéité de degré 1 de la fonction de
|
||||
production [[color:red][(N1)]] :
|
||||
|
||||
\[ \frac{Y}{K} = \frac{F(K,L)}{K} = F\left(1,\frac{L}{K}\right) \]
|
||||
|
||||
Si nous parvenons à montrer que $F(1,0)$ est égal à zéro, alors nous aurons
|
||||
montré que le travail est essentiel à la production (en effet si on a $F(1,0)=0$
|
||||
alors on a aussi $F(K,0)=0$ pour tout $K\geq 0$ par [[color:red][(N1)]]). D'après la dernière
|
||||
expression de la productivité moyenne du capital, nous savons que pour tout
|
||||
niveau de la population $L$ la productivité moyenne du capital doit tendre vers
|
||||
$F(1,0)$ lorsque $K$ tend vers l'infini. Par ailleurs, par la règle de L'Hôpital
|
||||
nous savons que le comportement asymptotique de la productivité moyenne est
|
||||
identique au comportement asymptotique de la productivité marginale :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\lim_{K\rightarrow\infty} \frac{F(K,L)}{K} = \lim_{K\rightarrow\infty} \frac{\partial F(K,L)}{\partial K}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
qui doit être égal à $F(1,0)$. Par les conditions d'Inada [[color:red][(N4)]], la productivité
|
||||
marginale tend vers 0 quand $K$ tend vers l'infini, nous avons donc $F(1,0)=0$
|
||||
et donc $F(K,0)=0$ pour tout $K\geq 0$, ce qui montre que le travail est un
|
||||
facteur de production essentiel. On montre de la même façon que le capital
|
||||
physique est un facteur essentiel en s'intéressant à la productivité moyenne du
|
||||
travail.
|
||||
#+END_proof
|
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||||
Avant d'aborder les propriétés suivantes, on rappelle et montre un théorème
|
||||
caractérisant les propriétés des fonctions homogènes (le théorème d'Euler).
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#+BEGIN_theorem
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||||
Soit $g(x,y)$ une fonction de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ différentiable et homogène de degré $k$ par rapport à $x$ et $y$. Alors on a :
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||||
\[
|
||||
k g(x,y) = g_x(x,y)x+g_y(x,y)y
|
||||
\]
|
||||
|
||||
où $g_x$ et $g_y$ sont les dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$. Ces
|
||||
mêmes dérivées partielles sont homogènes de degré $k-1$ par rapport à $x$ et
|
||||
$y$.
|
||||
#+END_theorem
|
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#+BEGIN_proof
|
||||
Puisque la fonction est homogène ce degré $k$ nous avons :
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||||
|
||||
\[
|
||||
g(\lambda x, \lambda y) = \lambda^k g(x,y)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
pour tout $\lambda$. En dérivant par rapport à $\lambda$, il vient :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
g_x(\lambda x, \lambda y)x + g_y(\lambda x,\lambda y)y = k \lambda^{k-1} g(x,y)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
En particulier, pour $\lambda=1$ nous avons donc :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
k g(x,y) = g_x(x,y)x+g_y(x,y)y
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Pour montrer que la dérivée partielle $g_x$ est homogène de degré $k-1$ on
|
||||
dérive la première équation par rapport à $x$ (plutôt que $\lambda$) :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
g_x(\lambda x, \lambda y) \lambda = \lambda^k g_x(x,y)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow g_x(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{k-1} g_x(x,y)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
On montre de la même façon que la dérivée partielle $g_y$ est homogène de degré
|
||||
$k-1$ (en dérivant par rapport à $y$).
|
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#+END_proof
|
||||
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||||
#+BEGIN_property
|
||||
La matrice hessienne de $F$ est semi-définie négative pour tout $(K,L)\in\mathbb
|
||||
R_+^2$. En notant $\mathcal H_F(K,L)$ la matrice des dérivées secondes, le
|
||||
déterminant et la trace de la matrice hessienne vérifient $|\mathcal
|
||||
H_F(K,L)|=0$ et $\mathrm{tr}\bigl(\mathcal H_F(K,L)\bigr)<0$ pour tout
|
||||
$(K,L)\in\mathbb R_+^2$.
|
||||
#+END_property
|
||||
|
||||
#+BEGIN_proof
|
||||
La matrice hessienne est :
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mathcal H_F(K,L) =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K^2} & \frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K\partial L}\\
|
||||
\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial L\partial K} & \frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial L^2}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
puisque $F\in\mathcal C^2$ cette matrice est symétrique (par le [[https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives][théorème de Young]]) le déterminant est donné par :
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|\mathcal H_F(K,L)| = \frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K^2}\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial L^2}-\left(\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K\partial L}\right)^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Sachant que $F$ est homogène de degré 1, par le théorème 1, nous avons :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
F(K,L) = \frac{\partial F(K,L)}{\partial K} K + \frac{\partial F(K,L)}{\partial L} L
|
||||
\]
|
||||
En dérivant par rapport à $K$ ou $L$ il vient :
|
||||
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\frac{\partial F(K,L)}{\partial K} &= \frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K^2}K+\frac{\partial F(K,L)}{\partial K}+\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial L\partial K} L \\
|
||||
\frac{\partial F(K,L)}{\partial L} &= \frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial L^2}L+\frac{\partial F(K,L)}{\partial L}+\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K\partial L} K
|
||||
\end{cases}
|
||||
|
||||
soit de façon équivalente (en tenant compte de l'égalité des dérivées secondes croisées) :
|
||||
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K^2} &= -\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K\partial L} \frac{L}{K} \\
|
||||
\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial L^2} &= -\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K\partial L} \frac{K}{L}
|
||||
\end{cases}
|
||||
|
||||
En passant, on note que la dérivée seconde croisée doit être positive (puisque
|
||||
les productivités marginales sont décroissantes). Ainsi quand la quantité de
|
||||
travail (capital) augmente, la productivité marginale du capital (travail)
|
||||
augmente. En substituant dans l'expression du déterminant on obtient :
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|\mathcal H_F(K,L)| = \left(-\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K\partial L} \frac{L}{K} \right)\left(-\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K\partial L} \frac{K}{L}\right)-\left(\frac{\partial^2 F(K,L)}{\partial K\partial L}\right)^2 = 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
La trace de la matrice hessienne est la somme des éléments sur la diagonale. La
|
||||
trace est négative puisque les productivités marginales sont décroissantes par
|
||||
[[color:red][(N3)]]. La matrice hessienne possède donc une valeur propre nulle et une valeur
|
||||
propre négative.
|
||||
#+END_proof
|
||||
|
||||
Si $F$ est une fonction de production néoclassique elle doit être concave et
|
||||
donc quasi-concave. Cette propriété est utile pour caractériser le comportement
|
||||
optimal des firmes (voir plus bas).
|
||||
|
||||
#+BEGIN_property
|
||||
Les productivités marginales ne dépendent que du ratio $k=K/L$.
|
||||
#+END_property
|
||||
|
||||
#+BEGIN_proof
|
||||
Par le théorème 1, puisque la fonction de production est homogène de degré un,
|
||||
nous savons que les productivités marginales sont homogènes de degré zéro. Ainsi
|
||||
nous avons :
|
||||
|
||||
\begin{cases}
|
||||
F_K(K,L) &= F_K\left(\frac{K}{L}, 1\right)\\
|
||||
F_L(K,L) &= F_L\left(\frac{K}{L}, 1\right)
|
||||
\end{cases}
|
||||
|
||||
où $F_K$ et $F_L$ sont les dérivées partielles par rapport à $K$ et $L$.
|
||||
|
||||
#+END_proof
|
||||
|
||||
#+BEGIN_property
|
||||
Le taux marginal de substitution entre les facteurs est une fonction décroissante de $k$.
|
||||
#+END_property
|
||||
|
||||
#+BEGIN_proof
|
||||
Le taux marginal de substitution (technique) est défini, en valeur absolue, comme le rapport des
|
||||
productivités marginales (qui ne dépendent que de $k$) :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\textrm{TMS}(k) = \frac{F_K(k,1)}{F_L(k,1)}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
au signe près, il s'agit de la pente en $(K,L)$ d'un isoquant. Sa dérivée est :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\frac{\mathrm d \textrm{TMS}(k)}{\mathrm d k} = \frac{F_{KK}F_L-F_{KL}F_K}{F_L^2}=\frac{F_{KK}F_L+F_{KK}kF_K}{F_L^2}<0
|
||||
\]
|
||||
|
||||
car les dérivées secondes sont négatives par [[color:red][(N3)]].
|
||||
#+END_proof
|
||||
|
||||
#+BEGIN_property
|
||||
Les élasticités par rapport aux facteurs de production sont positives et somment à un.
|
||||
#+END_property
|
||||
|
||||
#+BEGIN_proof
|
||||
Notons $\varepsilon_{Y/K}$ et $\varepsilon_{Y/L}$ les élasticités de $Y$ par rapport à $K$ et $L$. Par définition, nous avons :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\varepsilon_{Y/K} = \frac{\frac{\partial Y}{\partial K}}{\frac{Y}{K}}\quad\text{et}\quad \varepsilon_{Y/L} = \frac{\frac{\partial Y}{\partial L}}{\frac{Y}{L}}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
L'élasticité se lit comme le rapport d'une productivité marginale et
|
||||
productivité moyenne. Clairement ces quantités doivent être positives, par [[color:red][(N2)]].
|
||||
Par le théorème 1, nous avons :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Y = \frac{\partial Y}{\partial K} K + \frac{\partial Y}{\partial L} L
|
||||
\]
|
||||
|
||||
en divisant les deux membres par $Y$, on obtient :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
1 = \varepsilon_{Y/K} +\varepsilon_{Y/L}
|
||||
\]
|
||||
#+END_proof
|
||||
|
||||
#+BEGIN_property
|
||||
Dans une économie parfaitement concurrentielle, où les facteurs de production
|
||||
sont rémunérés aux productivités marginales, les firmes réalisent un profit nul.
|
||||
#+END_property
|
||||
|
||||
#+BEGIN_proof
|
||||
Notons $R$ et $w$ les rémunérations réelles (c'est-à-dire en terme de bien
|
||||
homogène produit dans l'économie), le profit est défini par :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Pi = Y - R K - w L
|
||||
\]
|
||||
|
||||
En exprimant la production en fonction des productivités marginales, par le
|
||||
théorème 1, et sachant que mes rémunérations $R$ et $w$ sont respectivement
|
||||
égales à $\frac{\partial Y}{\partial K}$ et $\frac{\partial Y}{\partial L}$, on
|
||||
obtient bien la nullité du profit.
|
||||
#+END_proof
|
||||
|
||||
#+BEGIN_property
|
||||
On peut écrire la technologie sous une forme intensive, c'est-à-dire en
|
||||
exprimant la production par tête $y=Y/L$ comme une fonction du stock de capital
|
||||
physique par tête, $k = K/L$.
|
||||
#+END_property
|
||||
|
||||
#+BEGIN_proof
|
||||
Puisque la fonction de production $F$ est homogène de degré 1, nous avons :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\lambda Y = F(\lambda K, \lambda L)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
pour tout $\lambda\geq 0$. En particulier, pour $\lambda = L^{-1}$ nous avons :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
y = F(k, 1)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Par la suite on posera $f(k) = F(k,1)$ la fonction de production intensive.
|
||||
#+END_proof
|
||||
|
||||
#+BEGIN_property
|
||||
La fonction de production intensive, $f(k)$, hérite des propriétés de la
|
||||
fonction de production $F(K,L)$. On a :
|
||||
1. $f(0) = 0$,
|
||||
2. $f'(k)\geq 0$,
|
||||
3. $f''(k)\leq 0$,
|
||||
4. $\lim_{k\rightarrow 0}f'(k)=\infty$ et $\lim_{k\rightarrow \infty}f'(k)=0$,
|
||||
5. $F_(K,L) = f'(k)$, et
|
||||
6. $F_L(K,L) = f(k)-f'(k)k$.
|
||||
#+END_property
|
||||
|
||||
#+BEGIN_proof
|
||||
(1) Par définition de la technologie intensive, nous avons $f(0)=F(0,1)$, nous
|
||||
avons donc directement par la propriété 1 $f(0)=0$. (2)-(5) Par construction de
|
||||
la technologie intensive nous avons directement $f'(k)=F_K(K,L)$ ou encore
|
||||
$f'(k)=F_K(k,1)$ puisque la productivité marginale est homogène de degré zéro.
|
||||
On déduit directment la positivité de $f'(k)$ et sa décroissance, c'est-à-dire
|
||||
$f''(k)\leq 0$. On déduit tout aussi directement les conditions d'Inada sur $f$
|
||||
à partir des conditions d'Inada sur $F$ (pour la productivité marginale du
|
||||
capital). (6) On utilise à nouveau le théorème 1 selon lequel :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Y = F_K(K,L)K + F_L(K,L)L
|
||||
\]
|
||||
|
||||
en divisant les deux membres par $L$ :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
y = F_K(K,L)k + F_L(K,L)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
ou encore :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
y = F_K(k,1)k + F_L(K,L)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
puisque la productivité marginale du capital ne dépend que de $k$ (propriété 3), et donc :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
f(k) = f'(k)k + F_L(K,L)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
F_L(K,L) = f(k) -f'(k)k
|
||||
\]
|
||||
#+END_proof
|
||||
|
||||
Avant de passer aux sections suivantes où nous décrirons les comportements des
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ménages et des firmes, puis l'équilibre dans le modèle de Solow, nous discutons
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deux quantités qui permettront de caractériser la technologie de production :
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l'élasticité de la production par rapport au capital, que nous avons déjà
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rencontré, et l'élasticité de substitution entre les facteurs.
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L'élasticité de la production par rapport au capital est définie comme le
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rapport de la productivité marginale du capital à la productivité moyenne du
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capital. Nous savons que la productivité marginale ne dépend que du stock de
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capital par tête (propriété 3). La productivité moyenne du capital ne dépend
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aussi que du stock de capital par tête, en effet puisque la fonction $F$ est
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homogène de degré un nous avons $\frac{Y}{K} = F(1,k^{-1})$. Ainsi, l'élasticité
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de la production par rapport au capital physique est une fonction du stock de
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capital par tête. Par analogie avec la notation habituelle dans le cas de la
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fonction de production Cobb-Douglas, on notera $\alpha(k)$ cette élasticité et
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on a :
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\[
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\alpha(k) = \frac{f'(k)k}{f(k)}
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\]
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L'élasticité de substitution entre les facteurs caractérise la courbure de la
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fonction de production. Il s'agit, le long d'un isoquant, du rapport du taux de
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croissance du ratio travail/capital et du taux de croissance du ratio des
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productivités marginales (c'est-à-dire du taux marginal de substitution).
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Puisque les productivités marginales ne dépendent que de $k$, cette élasticité
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dépend exclusivement de $k$. On notera :
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\[
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\sigma(k) = \frac{\frac{\mathrm d \frac{L}{K}}{\frac{L}{K}}}{\frac{\mathrm d\frac{F_K}{F_L}}{\frac{F_K}{F_L}}}
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\]
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en omettant, afin d'alléger les notations, la dépendance à $K$ et $L$ des
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productivités marginales (dérivées partielles) $F_K$ et $F_L$. On cherche
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maintenant à obtenir une expression plus explicite et opérationnelle de cette
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élasticité. À cette fin, nous allons exprimer $\mathrm d \frac{F_K}{F_L}$ en
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fonction des dérivées partielles (d'ordre 1 et 2) de la fonction $F$. En
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considérant la différentielle totale de $\frac{F_K}{F_L}$, il vient :
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\[
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\mathrm d\frac{F_K}{F_L} = \frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial K}\mathrm d K + \frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial L} \mathrm d L
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\]
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où, en appliquant les règles de dérivation bien connues, on a :
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\[
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\frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial K} = \frac{F_{KK}F_L-F_{KL}F_K}{F_L^2}
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\]
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et
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\[
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||||
\frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial L} = \frac{F_{KL}F_L-F_{LL}F_K}{F_L^2}
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\]
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Puisque le long d'un isoquant nous avons $\frac{\mathrm d
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L}{\mathrm d K} = -\frac{F_K}{F_L}$, nous pouvons éliminer $\mathrm d K$ dans la
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différentielle totale. Nous avons donc :
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\begin{equation*}
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\begin{split}
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\mathrm d\frac{F_K}{F_L} &=
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\left(\frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial L} - \frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial K}\frac{F_L}{F_K} \right)\mathrm dL \\
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||||
&= \left(\frac{F_{KL}F_L-F_{LL}F_K}{F_L^2}F_K - \frac{F_{KK}F_L-F_{KL}F_K}{F_L^2} F_L \right)\frac{\mathrm dL}{F_K} \\
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||||
&= \frac{F_{KL}F_LF_K-F_{LL}F_K^2-F_{KK}F_L^2+F_{KL}F_KF_L}{F_L^2}\frac{\mathrm dL}{F_K}\\
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||||
&= \frac{2F_{KL}F_KF_L - F_{LL}F_K^2 - F_{KK}F_L^2}{F_L^2}\frac{\mathrm dL}{F_K}
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\end{split}
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\end{equation*}
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Par ailleurs, la différentielle totale de $\frac{K}{L}$ est :
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\[
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\mathrm d \frac{L}{K} = \frac{K\mathrm d L - L\mathrm d K}{K^2}
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\]
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en exprimant $\mathrm d K$ en fonction de $\mathrm d L$ (et des dérivées partielles) :
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\[
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||||
\mathrm d \frac{L}{K} = \frac{K F_K + L F_L}{K^2}\frac{\mathrm d L}{F_K}
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\]
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En substituant dans la définition de l'élasticité, il vient :
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\begin{equation*}
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\begin{split}
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\sigma(k) &= \frac{K F_K + L F_L}{F_K K^2}\frac{F_L^2 F_K}{2F_{KL}F_KF_L - F_{LL}F_K^2 - F_{KK}F_L^2}\frac{K}{L}\frac{F_K}{F_L}\\
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||||
&= \frac{K F_K + L F_L}{KL}\frac{F_L F_K}{2F_{KL}F_KF_L - F_{LL}F_K^2 - F_{KK}F_L^2}
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\end{split}
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\end{equation*}
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Puisque les productivités marginales sont positives, le signe de l'élasticité
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est donné par le signe de $2F_{KL}F_KF_L - F_{LL}F_K^2 - F_{KK}F_L^2$. Comme les
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dérivées secondes $F_{LL}$ et $F_{KK}$ sont négatives et la dérivée seconde
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croisée est positive (voir la preuve de la propriété 2), on conclut que
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l'élasticité de substitution entre capital et travail doit être positive. On
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peut simplifier l'expression de l'élasticité en notant que par le théorème
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d'Euler nous avons $KF_K+LF_L=Y$ et aussi :
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\begin{equation*}
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\begin{split}
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\sigma(k) &= \frac{Y}{KL}\frac{F_L F_K}{2F_{KL}F_KF_L + F_{KL}\frac{K}{L}F_K^2 + F_{KL}\frac{L}{K}F_L^2}\\
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&= \frac{Y F_K F_L}{F_{KL} \left(2KLF_KF_L + K^2F_K^2 + L^2F_L^2\right)}\\
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&= \frac{Y F_K F_L}{F_{KL} \left(KF_K + LF_L\right)^2}\\
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||||
&= \frac{Y F_K F_L}{F_{KL} Y^2}
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\end{split}
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\end{equation*}
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Nous avons donc :
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\[
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\sigma(k) = \frac{F_K F_L}{Y F_{KL}}
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\]
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que nous pouvons finalement exprimer en fonction de la technologie intensive (voir la propriété 8)
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\[
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\sigma(k) = -\frac{f'(k)\left(f(k)-f'(k)k\right)}{k f(k) f''(k)}
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\]
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en notant que $\frac{\partial^2 F}{\partial K^2} = \frac{\partial f'\left(\frac{K}{L}\right)}{\partial K} = \frac{1}{L}f''(k)$. Clairement, les deux élasticités sont liées, on peut écrire de façon équivalente :
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\[
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\sigma(k) = -\frac{f'(k)(1-\alpha(k))}{k f''(k)}
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\]
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* Comportement des ménages
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L'économie est peuplée d'un continuum de ménages $m\in[0,1]$. On supposera qu'un
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ménage $m$ a une durée de vie infinie, on parle parfois de dynastie plutôt que
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de ménage. À l'instant $t$ la taille du ménage, c'est-à-dire le nombre de têtes
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dans le ménage, est notée $L(t,m)>0$. On suppose que la taille du ménage $m$
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croît au taux constant $n>0$. Si la taille initiale du ménage $m$ est $L(0,m) = L_0(m)$,
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à l'instant $t$ nous avons donc $L(t,m) = e^{nt} L_0(m)$. On notera $L(t) =
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\int_0^1 L(t,m)\mathrm d m = e^{nt}\int_0^1 L_0(m)\mathrm d m \equiv e^{nt}L_0$ la
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population totale à l'instant $t$ et nous normaliserons la population initiale
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en posant $L_0=1$. Le paramètre $n$ s'interprète comme le taux de croissance
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démographique dans notre économie. À tout instant $t$, chaque ménage offre
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inélastiquement une unité de travail par tête sur un marché parfaitement
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concurrentiel et perçoit en contrepartie un salaire $w(t)$ (par unité de
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travail).
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Par ailleurs, chaque ménage détient initialement du capital physique en quantité
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$K_0(m)$. Le stock de capital physique se déprécie au taux constant $\delta>0$
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et obéit à la loi d'évolution suivante :
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\[
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\dot K(t,m) = I(t,m) - \delta K(t,m)
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\]
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où $I(t,m)$ est l'investissement en capital physique à l'instant $t$. Cette
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équation différentielle nous dit simplement que le stock de capital physique
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augmente, $\dot K(t,m)>0$, si et seulement si l'investissement est supérieur à
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la dépréciation. En termes intensif, la dynamique du stock de capital physique
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par tête est donnée par :
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\[
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\dot k(t,m) = i(t,m) - (n+\delta) k(t,m)
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\]
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Le ménage loue les services de ce capital aux firmes qui l'utiliseront pour
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produire le bien homogène (via la technologie de production décrite plus haut,
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voir la section suivante). En contrepartie de la location du capital le ménage
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$m$ obtient $r(t)$ par unité de capital.
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Dans notre économie, il n'y a qu'un seul bien, le résultat la technologie de
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production décrite dans la première section, celui-ci peut être dirigé vers
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l'accumulation de capital (l'investissement) ou consommé. Les prix $w(t)$, pour
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la location de la force de travail, et $r(t)$, pour la location du capital, sont
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réels, c'est-à-dire exprimés en termes d'unité de bien homogène. Par exemple, si
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le ménage offre $L(t,m)$ unités de travail alors il perçoit $L(t,m)w(t)$ unités
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de bien homogène sous forme de salaire.
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Enfin, nous supposons que les ménages détiennent les firmes qui produisent le
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bien homogène. Nous pourrions décrire comment les titres de propriété sont
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distribués entre les ménages et donc comment les profits sont répartis. Nous
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pourrions aussi considérer un marché où les ménages échangeraient ces titres de
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propriétés sur les firmes. Mais les profits sont nuls à chaque instant dans ce
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modèle où les firmes agissent dans un environnement parfaitement concurrentiel
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et où la technologie de production est à rendements d'échelle constant, voir la
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propriété 6 dans la section précédente, cette répartition est donc sans
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conséquences. Nous ferons abstraction des profits dans la suite.
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Un ménage $m\in[0,1]$ utilise son revenu pour consommer ou investir. Sa
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contrainte budgétaire saturée[fn:2: Dans ce modèle, le comportement du ménage est exogène. ] s'écrit :
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\[
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C(t,m) + I(t,m) = w(t)L(t,m) + r(t)K(t,m)
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\]
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ou en termes intensif :
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\[
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||||
c(t,m) + i(t,m) = w(t) + r(t)k(t,m)
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\]
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