Add a section about the exact speed of convergence in the Solow model.
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6ea0a35354
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26205c29a8
GPG Key ID:
295C1FE89E17EB3C
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@ -161,7 +161,7 @@ stationnaire.
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#+RESULTS:
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: None
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#+CAPTION: *Trajectoires du capital physique par tête efficace.*
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#+CAPTION: *Trajectoires du capital physique par tête efficace.*
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#+LABEL: fig:k-transition-1
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[[file:img/k-transition-1.svg]]
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@ -216,7 +216,7 @@ $-(n+x+\delta)$).
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#+RESULTS:
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: None
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#+CAPTION: *Taux de croissance du stock de capital physique par tête efficace.*
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#+CAPTION: *Taux de croissance du stock de capital physique par tête efficace.*
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#+LABEL: fig:k-growth-1
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[[file:img/k-growth-1.svg]]
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@ -236,7 +236,7 @@ rentrer dans une description détaillée de l'algorithme derrière la fonction
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=odeint,= il est important de garder à l'esprit qu'une approche numérique repose
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toujours sur des approximations. Dès lors, il faut se demander si les erreurs
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d'approximation sont importantes ou négligeables. Il est aussi utile de savoir
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où ces erreurs sont éventuellement plus importantes.
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où ces erreurs sont éventuellement plus importantes.
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Par chance, ce modèle dispose d'une solution analytique. Dans la prochaine
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section nous présentons cette solution et comparons la solution exacte avec une
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@ -409,13 +409,13 @@ courbe bleue par sa tangente en $\hat k^{\star}$ (la droite verte dans la figure
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#+RESULTS:
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[[file:None]]
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#+CAPTION: *Taux de croissance approximé du stock de capital physique par tête efficace.*
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#+CAPTION: *Taux de croissance approximé du stock de capital physique par tête efficace.*
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#+LABEL: fig:k-growth-2
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[[file:img/k-growth-2.svg]]
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On devine sur ce graphique que les erreurs d'approximation (la différence entre
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la courbe bleue et la droite verte) sont ici beaucoup plus importantes que les
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erreurs numériques calculées dans la section précédante. On remarque que les erreurs :
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erreurs numériques calculées dans la section précédente. On remarque que les erreurs :
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- sont d'autant plus importantes que l'on s'éloigne de l'état stationnaire,
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@ -428,7 +428,7 @@ erreurs numériques calculées dans la section précédante. On remarque que les
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croissance théorique.
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\\
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Ces différences, que nous observons ici graphiquement, ont évidemment des
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conséquences sur les trajectoires que nous pouvons calculer. Avec
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l'approximation d'ordre 1, nous avons :
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@ -449,8 +449,8 @@ En rappelant que le taux de croissance de $\hat k$ peut s'écrire comme la varia
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\dot{\log \hat k} \approx (1-\alpha)(n+x+\delta)\left(1-\frac{\hat k}{\hat k^{\star}}\right)
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\]
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Finalement, le terme $1-\frac{\hat k}{\hat k^{\star}}$, qui mersure la distance
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à l'état stationnaire, peut approximé par une fonction $\log$ dans un voisinage
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Finalement, le terme $1-\frac{\hat k}{\hat k^{\star}}$, qui mesure la distance
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à l'état stationnaire, peut être approximé par une fonction $\log$ dans un voisinage
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de l'état stationnaire (on sait que $\log(1-x)\approx -x$) :
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@ -479,7 +479,7 @@ initiale à l'état stationnaire est donnée par :
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\]
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\[
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\Leftrightarrow \log \hat k(t) \approx \left(1-e^{-\beta t}\right)\log \hat k^{\star} + e^{-\beta t}\log\hat k(0)
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\Leftrightarrow \log \hat k(t) \approx \left(1-e^{-\beta t}\right)\log \hat k^{\star} + e^{-\beta t}\log\hat k(0)
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\]
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\[
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@ -523,7 +523,7 @@ plus importante.
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#+RESULTS:
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: None
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#+CAPTION: *Approximation de la transition*
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#+CAPTION: *Approximation de la transition*
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#+LABEL: fig:k-approx-1
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[[file:img/k-approx-1.svg]]
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@ -533,3 +533,103 @@ semble aussi significativement plus lente à rejoindre l'état stationnaire. Cec
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suggère que la mesure de la vitesse d'ajustement que nous avons l'habitude
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d'utiliser ($\beta = (1-\alpha)(n+x+\delta)$, obtenue en log-linéarisant la
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dynamique), sous estime la vitesse d'ajustement vers l'état stationnaire.
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* Transition de la vitesse de convergence
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La vitesse d'ajustement vers l'état stationnaire peut être définie, de façon
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générale, comme le taux de décroissance de la distance à l'état stationnaire.
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Sans recourir à des approximations, comme dans la section précédente, on posera :
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\[
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\beta(t) = - \frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\hat k(t)-\hat k^{\star}}{\hat k^{\star}} }{\frac{\hat k(t)-\hat k^{\star}}{\hat k^{\star}}}
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\]
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En substituant la loi d'évolution du stock de capital physique, on obtient
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facilement l'expression suivante pour la vitesse de convergence :
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\[
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\beta (t) = -(n+x+\delta) \frac{\zeta(t)^{\alpha-1}-1}{\zeta(t)-1}
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\]
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avec $\zeta(t) = \hat k(t) / \hat k^{\star}$. On sait que le long de la
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transition $\zeta(t)$ va se rapprocher de 1 de façon monotone [fn:1: Si
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l'économie est initialement au dessus de l'état stationnaire, $\zeta(t)\geq 1$
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pour tout $t$ et décroît de façon monotone pour converger vers 1. Si l'économie
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est initialement sous l'état stationnaire, $\zeta(t)\leq 1$ pour tout $t$ et
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croît de façon monotone pour converger vers 1.], la vitesse d'ajustement va donc
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varier pendant la transition. Lorsque $t$ tend vers l'infini (ou $\zeta$ tend vers 1), le numérateur et
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le dénominateur du ratio dans la dernière équation tendent vers 0 ; nous avons
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donc ici une forme indéterminée, mais à l'aide de la règle de l'Hôpital nous pouvons
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montrer que ce ratio tend vers $\alpha-1$ lorsque $\zeta$ tend vers 1 et donc
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que :
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\[
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\lim_{t\rightarrow\infty} \beta(t) = (1-\alpha)(n+x+\delta)\equiv \beta
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\]
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la vitesse de convergence (constante) que nous obtenons lorsque nous considérons
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l'approximation log-linéaire dans un voisinage de l'état stationnaire (voir la
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section précédente). En substituant la solution exacte dans l'expression de la
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vitesse de convergence (exacte)[fn:2: On sait que \[ \zeta(t) = \left(1 +
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\left(\left(\frac{\hat k(0)}{\hat k^{\star}}\right)^{1-\alpha}-1\right)
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e^{-(1-\alpha)(n+x+\delta)t}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \]] on peut calculer la
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vitesse de convergence à chaque instant. La figure [[fig:k-speed-1]] représente la
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vitesse de convergence comme une fonction du niveau de capital par tête
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efficace. Afin que le graphique soit plus lisible on a réduit les écarts à
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l'état stationnaire (on considère des valeurs de $\hat k$ entre $50\%$ et $150\%$ de
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l'état stationnaire).
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#+begin_src python :session :exports none
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plt.figure(6)
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# Conditions initiales
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kinit0 = 0.5*kstar(alpha, s, n, x, delta)
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kinit1 = 1.5*kstar(alpha, s, n, x, delta)
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# Transitions exactes
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kpath0 = vexact(t, kinit0, kstar(alpha, s, n, x, delta), alpha, (1-alpha)*(n+x+delta))
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kpath1 = vexact(t, kinit1, kstar(alpha, s, n, x, delta), alpha, (1-alpha)*(n+x+delta))
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zeta0 = kpath0/kstar(alpha, s, n, x, delta)
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zeta1 = kpath1/kstar(alpha, s, n, x, delta)
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# Transitions de la vitesse de convergence
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speed0 = -(n+x+delta)*(zeta0**(alpha-1)-1)/(zeta0-1)
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speed1 = -(n+x+delta)*(zeta1**(alpha-1)-1)/(zeta1-1)
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plt.plot(kpath0, speed0, 'b')
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plt.plot(kpath1, speed1, 'r')
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plt.savefig("img/k-speed-1.svg", transparent=True)
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plt.figure(7)
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plt.plot(t, speed0, 'b')
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plt.plot(t, speed1, 'r')
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plt.savefig("img/k-speed-2.svg", transparent=True)
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#+end_src
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#+RESULTS:
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: None
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#+CAPTION: *Transition de la vitesse de convergence*
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#+LABEL: fig:k-speed-1
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[[./img/k-speed-1.svg]]
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On observe que la vitesse de convergence exacte s'écarte plus de la vitesse de
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convergence constante $\beta$, obtenue en approximant le modèle dans un
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voisinage de l'état stationnaire ($4\%$ pour notre étalonnage du modèle), lorsque
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l'économie est sous l'état stationnaire (la courbe bleue). Dans la figure
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[[fig:k-speed-2]], on représente $\beta(t)$ contre le temps, avec $\hat k(0) =
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.5\hat k^{\star}$ (courbe bleue) ou $\hat k(0) = 1.5\hat k^{\star}$ (courbe
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rouge).
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#+CAPTION: *Transition de la vitesse de convergence*
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#+LABEL: fig:k-speed-2
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[[./img/k-speed-2.svg]]
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Quand la dotation initiale de l'économie est inférieure à l'état stationnaire,
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on observe que la vitesse de convergence exacte est supérieure à $\beta$ pour
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tout $t$ et décroît de façon monotone. Les écarts à $\beta$ sont plus importants
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quand l'économie est sous l'état stationnaire. En effet, quand l'économie est au
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dessus de l'état stationnaire la vitesse de convergence est bornée par 0 (elle
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doit être positive) alors qu'elle peut devenir arbitrairement grande quand
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$\zeta$ tend vers 0. Mais surtout, nous savons que la courbure du modèle est
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plus importante quand le stock de capital se rapproche de 0, ce qui explique que
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la différence entre la vitesse de convergence exacte et la vitesse de
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convergence résultant d'une approximation locale soit plus importante. À la
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limite, quand $\hat k$ (ou $\zeta$) tend vers 0, la condition d'Inada nous dit
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que le rendement marginal du capital est infini. Dans ce cas, la vitesse de
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convergence tend vers l'infini.
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