From 26205c29a86c5f90133de7414382926c1aaa3cfa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?St=C3=A9phane=20Adjemian=20=28Ry=C3=BBk=29?= Date: Wed, 23 Feb 2022 20:10:27 +0100 Subject: [PATCH] Add a section about the exact speed of convergence in the Solow model. --- blog/simulation-du-modele-de-solow/index.org | 120 +++++++++++++++++-- 1 file changed, 110 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/blog/simulation-du-modele-de-solow/index.org b/blog/simulation-du-modele-de-solow/index.org index ef33cbe..878eb8e 100644 --- a/blog/simulation-du-modele-de-solow/index.org +++ b/blog/simulation-du-modele-de-solow/index.org @@ -161,7 +161,7 @@ stationnaire. #+RESULTS: : None -#+CAPTION: *Trajectoires du capital physique par tête efficace.* +#+CAPTION: *Trajectoires du capital physique par tête efficace.* #+LABEL: fig:k-transition-1 [[file:img/k-transition-1.svg]] @@ -216,7 +216,7 @@ $-(n+x+\delta)$). #+RESULTS: : None -#+CAPTION: *Taux de croissance du stock de capital physique par tête efficace.* +#+CAPTION: *Taux de croissance du stock de capital physique par tête efficace.* #+LABEL: fig:k-growth-1 [[file:img/k-growth-1.svg]] @@ -236,7 +236,7 @@ rentrer dans une description détaillée de l'algorithme derrière la fonction =odeint,= il est important de garder à l'esprit qu'une approche numérique repose toujours sur des approximations. Dès lors, il faut se demander si les erreurs d'approximation sont importantes ou négligeables. Il est aussi utile de savoir -où ces erreurs sont éventuellement plus importantes. +où ces erreurs sont éventuellement plus importantes. Par chance, ce modèle dispose d'une solution analytique. Dans la prochaine section nous présentons cette solution et comparons la solution exacte avec une @@ -409,13 +409,13 @@ courbe bleue par sa tangente en $\hat k^{\star}$ (la droite verte dans la figure #+RESULTS: [[file:None]] -#+CAPTION: *Taux de croissance approximé du stock de capital physique par tête efficace.* +#+CAPTION: *Taux de croissance approximé du stock de capital physique par tête efficace.* #+LABEL: fig:k-growth-2 [[file:img/k-growth-2.svg]] On devine sur ce graphique que les erreurs d'approximation (la différence entre la courbe bleue et la droite verte) sont ici beaucoup plus importantes que les -erreurs numériques calculées dans la section précédante. On remarque que les erreurs : +erreurs numériques calculées dans la section précédente. On remarque que les erreurs : - sont d'autant plus importantes que l'on s'éloigne de l'état stationnaire, @@ -428,7 +428,7 @@ erreurs numériques calculées dans la section précédante. On remarque que les croissance théorique. \\ - + Ces différences, que nous observons ici graphiquement, ont évidemment des conséquences sur les trajectoires que nous pouvons calculer. Avec l'approximation d'ordre 1, nous avons : @@ -449,8 +449,8 @@ En rappelant que le taux de croissance de $\hat k$ peut s'écrire comme la varia \dot{\log \hat k} \approx (1-\alpha)(n+x+\delta)\left(1-\frac{\hat k}{\hat k^{\star}}\right) \] -Finalement, le terme $1-\frac{\hat k}{\hat k^{\star}}$, qui mersure la distance -à l'état stationnaire, peut approximé par une fonction $\log$ dans un voisinage +Finalement, le terme $1-\frac{\hat k}{\hat k^{\star}}$, qui mesure la distance +à l'état stationnaire, peut être approximé par une fonction $\log$ dans un voisinage de l'état stationnaire (on sait que $\log(1-x)\approx -x$) : @@ -479,7 +479,7 @@ initiale à l'état stationnaire est donnée par : \] \[ -\Leftrightarrow \log \hat k(t) \approx \left(1-e^{-\beta t}\right)\log \hat k^{\star} + e^{-\beta t}\log\hat k(0) +\Leftrightarrow \log \hat k(t) \approx \left(1-e^{-\beta t}\right)\log \hat k^{\star} + e^{-\beta t}\log\hat k(0) \] \[ @@ -523,7 +523,7 @@ plus importante. #+RESULTS: : None -#+CAPTION: *Approximation de la transition* +#+CAPTION: *Approximation de la transition* #+LABEL: fig:k-approx-1 [[file:img/k-approx-1.svg]] @@ -533,3 +533,103 @@ semble aussi significativement plus lente à rejoindre l'état stationnaire. Cec suggère que la mesure de la vitesse d'ajustement que nous avons l'habitude d'utiliser ($\beta = (1-\alpha)(n+x+\delta)$, obtenue en log-linéarisant la dynamique), sous estime la vitesse d'ajustement vers l'état stationnaire. + +* Transition de la vitesse de convergence + +La vitesse d'ajustement vers l'état stationnaire peut être définie, de façon +générale, comme le taux de décroissance de la distance à l'état stationnaire. +Sans recourir à des approximations, comme dans la section précédente, on posera : + +\[ +\beta(t) = - \frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\hat k(t)-\hat k^{\star}}{\hat k^{\star}} }{\frac{\hat k(t)-\hat k^{\star}}{\hat k^{\star}}} +\] + +En substituant la loi d'évolution du stock de capital physique, on obtient +facilement l'expression suivante pour la vitesse de convergence : + +\[ +\beta (t) = -(n+x+\delta) \frac{\zeta(t)^{\alpha-1}-1}{\zeta(t)-1} +\] + +avec $\zeta(t) = \hat k(t) / \hat k^{\star}$. On sait que le long de la +transition $\zeta(t)$ va se rapprocher de 1 de façon monotone [fn:1: Si +l'économie est initialement au dessus de l'état stationnaire, $\zeta(t)\geq 1$ +pour tout $t$ et décroît de façon monotone pour converger vers 1. Si l'économie +est initialement sous l'état stationnaire, $\zeta(t)\leq 1$ pour tout $t$ et +croît de façon monotone pour converger vers 1.], la vitesse d'ajustement va donc +varier pendant la transition. Lorsque $t$ tend vers l'infini (ou $\zeta$ tend vers 1), le numérateur et +le dénominateur du ratio dans la dernière équation tendent vers 0 ; nous avons +donc ici une forme indéterminée, mais à l'aide de la règle de l'Hôpital nous pouvons +montrer que ce ratio tend vers $\alpha-1$ lorsque $\zeta$ tend vers 1 et donc +que : + +\[ +\lim_{t\rightarrow\infty} \beta(t) = (1-\alpha)(n+x+\delta)\equiv \beta +\] + +la vitesse de convergence (constante) que nous obtenons lorsque nous considérons +l'approximation log-linéaire dans un voisinage de l'état stationnaire (voir la +section précédente). En substituant la solution exacte dans l'expression de la +vitesse de convergence (exacte)[fn:2: On sait que \[ \zeta(t) = \left(1 + +\left(\left(\frac{\hat k(0)}{\hat k^{\star}}\right)^{1-\alpha}-1\right) +e^{-(1-\alpha)(n+x+\delta)t}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \]] on peut calculer la +vitesse de convergence à chaque instant. La figure [[fig:k-speed-1]] représente la +vitesse de convergence comme une fonction du niveau de capital par tête +efficace. Afin que le graphique soit plus lisible on a réduit les écarts à +l'état stationnaire (on considère des valeurs de $\hat k$ entre $50\%$ et $150\%$ de +l'état stationnaire). + +#+begin_src python :session :exports none + plt.figure(6) + # Conditions initiales + kinit0 = 0.5*kstar(alpha, s, n, x, delta) + kinit1 = 1.5*kstar(alpha, s, n, x, delta) + # Transitions exactes + kpath0 = vexact(t, kinit0, kstar(alpha, s, n, x, delta), alpha, (1-alpha)*(n+x+delta)) + kpath1 = vexact(t, kinit1, kstar(alpha, s, n, x, delta), alpha, (1-alpha)*(n+x+delta)) + zeta0 = kpath0/kstar(alpha, s, n, x, delta) + zeta1 = kpath1/kstar(alpha, s, n, x, delta) + # Transitions de la vitesse de convergence + speed0 = -(n+x+delta)*(zeta0**(alpha-1)-1)/(zeta0-1) + speed1 = -(n+x+delta)*(zeta1**(alpha-1)-1)/(zeta1-1) + plt.plot(kpath0, speed0, 'b') + plt.plot(kpath1, speed1, 'r') + plt.savefig("img/k-speed-1.svg", transparent=True) + plt.figure(7) + plt.plot(t, speed0, 'b') + plt.plot(t, speed1, 'r') + plt.savefig("img/k-speed-2.svg", transparent=True) +#+end_src + +#+RESULTS: +: None + +#+CAPTION: *Transition de la vitesse de convergence* +#+LABEL: fig:k-speed-1 +[[./img/k-speed-1.svg]] + +On observe que la vitesse de convergence exacte s'écarte plus de la vitesse de +convergence constante $\beta$, obtenue en approximant le modèle dans un +voisinage de l'état stationnaire ($4\%$ pour notre étalonnage du modèle), lorsque +l'économie est sous l'état stationnaire (la courbe bleue). Dans la figure +[[fig:k-speed-2]], on représente $\beta(t)$ contre le temps, avec $\hat k(0) = +.5\hat k^{\star}$ (courbe bleue) ou $\hat k(0) = 1.5\hat k^{\star}$ (courbe +rouge). + +#+CAPTION: *Transition de la vitesse de convergence* +#+LABEL: fig:k-speed-2 +[[./img/k-speed-2.svg]] + +Quand la dotation initiale de l'économie est inférieure à l'état stationnaire, +on observe que la vitesse de convergence exacte est supérieure à $\beta$ pour +tout $t$ et décroît de façon monotone. Les écarts à $\beta$ sont plus importants +quand l'économie est sous l'état stationnaire. En effet, quand l'économie est au +dessus de l'état stationnaire la vitesse de convergence est bornée par 0 (elle +doit être positive) alors qu'elle peut devenir arbitrairement grande quand +$\zeta$ tend vers 0. Mais surtout, nous savons que la courbure du modèle est +plus importante quand le stock de capital se rapproche de 0, ce qui explique que +la différence entre la vitesse de convergence exacte et la vitesse de +convergence résultant d'une approximation locale soit plus importante. À la +limite, quand $\hat k$ (ou $\zeta$) tend vers 0, la condition d'Inada nous dit +que le rendement marginal du capital est infini. Dans ce cas, la vitesse de +convergence tend vers l'infini.