Ajout d'une remarque à propos de l'hypothèse H2.

cours/notes-01.org

@@ -2,7 +2,7 @@
 #+STARTUP: latexpreview
 #+STARTUP: overview
 #+AUTHOR: Stéphane Adjemian
-#+TITLE: Codes pour le chapitre 1
+#+TITLE: Notes pour le chapitre 1
 #+auto_tangle: t
 
 * DGP et modèle empirique
@@ -13,9 +13,17 @@ On suppose que les données sont générées par le modèle :
 y_t = x_t + \varepsilon_t\text{ avec }\varepsilon_t \underset{\mathrm{iid}}{\sim}\mathcal N(0,1)
 \]
 
-où $x_t$ est une variable déterministe dans l'intervalle $[0,10]$. La variable $y_t$ est donc normalement distribuée d'espérance $x_t$ et de variance 1, puisque l'unique source d'aléa est $\varepsilon_t$. La nature génère des échantillons de $T$ observations $\{y_t,x_t\}_{t=1}^T$. Deux échantillons sont différents parce les réalisations de $\{\varepsilon_t\}_{t=1}^T$ sont différentes à chaque fois que la nature génère un nouvel échantillon.
+où $x_t$ est une variable déterministe dans l'intervalle $[0,10]$. La
+variable $y_t$ est donc normalement distribuée d'espérance $x_t$ et de
+variance 1, puisque l'unique source d'aléa est $\varepsilon_t$. La
+nature génère des échantillons de $T$ observations
+$\{y_t,x_t\}_{t=1}^T$. Deux échantillons sont différents parce les
+réalisations de $\{\varepsilon_t\}_{t=1}^T$ sont différentes à chaque
+fois que la nature génère un nouvel échantillon.
 
-Dans le code suivant on génère 100 échantillons pour $y$ avec une variable exogène déterministe. Chaque échantillon est une colonne du tableau =Y= (dans la boucle en ligne $x$
+Dans le code suivant on génère 100 échantillons pour $y$ avec une
+variable exogène déterministe. Chaque échantillon est une colonne du
+tableau =Y= (dans la boucle en ligne $x$
 
 #+begin_src python :results none :session :exports code :tangle "codes/chapitre-1/app-001.py"
   import numpy as np
@@ -75,3 +83,51 @@ Dans le code suivant on génère 100 échantillons pour $y$ avec une variable ex
   move('app-01-sample-stochastic-x.tex', 'images/chapitre-1/app-01-sample-stochastic-x.tex')
 
 #+end_src
+** Discussion de l'hypothèse $\mathcal H_2$
+Cette hypothèse est trop forte, mais elle permet d'obtenir facilement
+les propriétés qui nous intéressent, comme la convergence de
+l'estimateur des MCO. Par exemple, si le modèle est :
+
+\[
+y_t = \alpha_0 + \alpha_1 t + \varepsilon_t
+\]
+
+pour $t=1,\dots,T$. Sa représentation matricielle est :
+
+\begin{equation*}
+Y = \begin{pmatrix}
+\alpha_0\\
+\alpha_1
+\end{pmatrix} + \varepsilon
+\end{equation*}
+
+où la matrice $X$ est définie par :
+
+\begin{equation*}
+X = \begin{pmatrix}
+1 & 1 \\
+1 & 2 \\
+\vdots & \vdots \\
+1 & T
+\end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+On a alors :
+
+\begin{equation*}
+X'X =
+\begin{pmatrix}
+\sum_{t=1}^T 1 & \sum_{t=1}^T t \\
+\sum_{t=1}^T t & \sum_{t=1}^T t^2
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+T & \frac{T(T+1)}{2} \\
+\frac{T(T+1)}{2} & \frac{T(T+1)(2T+1)}{6}
+\end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+et donc, pour ce modèle, $T^{-1}X'X$ ne tend pas vers une matrice
+définie positive quand $T$ tend vers l'infini. On verra néanmoins plus
+loin que, même si l'hypothèse $\mathcal H_2$ n'est pas satisfaite,
+l'estimateur des MCO garde ses bonnes propriétés.