DGP et modèle empirique.
+ Ajout de conditions dans le préambule du fichier tex pour gérer l'affichage des équations sous emacs (avec xenops).chapitre-1
parent
5c76340172
commit
70a302dbef
GPG Key ID:
295C1FE89E17EB3C
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@ -0,0 +1,21 @@
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LATEX = pdflatex
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all: chapitre-1.pdf clean
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images/chapitre-1/app-01-sample-nonstochastic-x.tex: codes/chapitre-1/app-001.py
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python3 codes/chapitre-1/app-001.py
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images/chapitre-1/app-01-sample-stochastic-x.tex: codes/chapitre-1/app-001.py
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python3 codes/chapitre-1/app-001.py
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chapitre-1.pdf: chapitre-1.tex images/chapitre-1/app-01-sample-nonstochastic-x.tex images/chapitre-1/app-01-sample-nonstochastic-x.tex
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@rubber --src-specials --unsafe --pdf chapitre-1
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clean:
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@rm -f *.aux *.log *.out *.nav *.rel *.toc *.snm *.synctex.gz *.vrb *.rubbercache
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@rm -rf auto
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clean-all:
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@rm -f *.pdf
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.PHONY: all
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||||
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@ -0,0 +1,308 @@
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\synctex=1
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||||
\documentclass[10pt,notheorems]{beamer}
|
||||
|
||||
\usepackage{etex}
|
||||
\usepackage{fourier-orns}
|
||||
\usepackage{ccicons}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{amstext}
|
||||
\usepackage{amsbsy}
|
||||
\usepackage{amsopn}
|
||||
\usepackage{amscd}
|
||||
\usepackage{amsxtra}
|
||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
\usepackage{color, colortbl}
|
||||
\usepackage{mathrsfs}
|
||||
\usepackage{bm}
|
||||
\usepackage{lastpage}
|
||||
\usepackage[nice]{nicefrac}
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\usepackage{ragged2e}
|
||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usepackage{algorithms/algorithm}
|
||||
\usepackage{algorithms/algorithmic}
|
||||
\usepackage[frenchb]{babel}
|
||||
\usepackage{tikz,pgfplots,pgfplotstable}
|
||||
\pgfplotsset{compat=newest}
|
||||
\usetikzlibrary{patterns, arrows, decorations.pathreplacing, decorations.markings, calc}
|
||||
\pgfplotsset{plot coordinates/math parser=false}
|
||||
\newlength\figureheight
|
||||
\newlength\figurewidth
|
||||
\usepackage{cancel}
|
||||
\usepackage{tikz-qtree}
|
||||
\usepackage{dcolumn}
|
||||
\usepackage{adjustbox}
|
||||
\usepackage{environ}
|
||||
\usepackage[cal=boondox]{mathalfa}
|
||||
\usepackage{manfnt}
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
\hypersetup{
|
||||
colorlinks=true,
|
||||
linkcolor=blue,
|
||||
filecolor=black,
|
||||
urlcolor=black,
|
||||
}
|
||||
\usepackage{venndiagram}
|
||||
\usepackage{subcaption}
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
\@ifclassloaded{beamer}{
|
||||
\uselanguage{French}
|
||||
\languagepath{French}
|
||||
% Git hash
|
||||
\usepackage{xstring}
|
||||
\usepackage{catchfile}
|
||||
\immediate\write18{git rev-parse HEAD > git.hash}
|
||||
\CatchFileDef{\HEAD}{git.hash}{\endlinechar=-1}
|
||||
\newcommand{\gitrevision}{\StrLeft{\HEAD}{7}}
|
||||
}{}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\newcommand{\trace}{\mathrm{tr}}
|
||||
\newcommand{\vect}{\mathrm{vec}}
|
||||
\newcommand{\tracarg}[1]{\mathrm{tr}\left\{#1\right\}}
|
||||
\newcommand{\vectarg}[1]{\mathrm{vec}\left(#1\right)}
|
||||
\newcommand{\vecth}[1]{\mathrm{vech}\left(#1\right)}
|
||||
\newcommand{\iid}[2]{\mathrm{iid}\left(#1,#2\right)}
|
||||
\newcommand{\normal}[2]{\mathcal N\left(#1,#2\right)}
|
||||
\newcommand{\sample}{\mathcal Y_T}
|
||||
\newcommand{\samplet}[1]{\mathcal Y_{#1}}
|
||||
\newcommand{\slidetitle}[1]{\fancyhead[L]{\textsc{#1}}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
|
||||
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
|
||||
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
|
||||
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
|
||||
\newcommand{\binomial}[2]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \end{pmatrix}}
|
||||
\newcommand{\bigO}[1]{\mathcal O \left(#1\right)}
|
||||
\newcommand{\red}{\color{red}}
|
||||
\newcommand{\blue}{\color{blue}}
|
||||
|
||||
\renewcommand{\qedsymbol}{C.Q.F.D.}
|
||||
|
||||
\newcolumntype{d}{D{.}{.}{-1}}
|
||||
\definecolor{gray}{gray}{0.9}
|
||||
\newcolumntype{g}{>{\columncolor{gray}}c}
|
||||
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
\@ifclassloaded{beamer}{\setbeamertemplate{theorems}[numbered]{}}{}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\theoremstyle{plain}
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
\@ifclassloaded{beamer}{
|
||||
\setbeamertemplate{footline}{
|
||||
{\hfill\vspace*{1pt}\href{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode}{\ccbysa}\hspace{.1cm}
|
||||
\href{https://git.ithaca.fr/stepan/econometrics/src/commit/\HEAD/cours/chapitre-1.tex}{\gitrevision}\enspace--\enspace\today\enspace
|
||||
}}
|
||||
|
||||
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
|
||||
\setbeamertemplate{blocks}[rounded][shadow=true]
|
||||
\setbeamertemplate{caption}[numbered]
|
||||
|
||||
\newenvironment{notes}
|
||||
{\bgroup \justifying\bgroup\tiny\begin{spacing}{1.0}}
|
||||
{\end{spacing}\egroup\egroup}
|
||||
|
||||
\newenvironment{exercise}[1]
|
||||
{\bgroup \small\begin{block}{Ex. #1}}
|
||||
{\end{block}\egroup}
|
||||
|
||||
\newenvironment{defn}[1]
|
||||
{\bgroup \small\begin{block}{Définition. #1}}
|
||||
{\end{block}\egroup}
|
||||
|
||||
\newenvironment{exemple}[1]
|
||||
{\bgroup \small\begin{block}{Exemple. #1}}
|
||||
{\end{block}\egroup}
|
||||
}{}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\begin{document}
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||||
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||||
\title{Économétrie\\\small{Les MCO quand tout va bien}}
|
||||
\author[S. Adjemian]{Stéphane Adjemian}
|
||||
\institute{\texttt{stephane.adjemian@univ-lemans.fr}}
|
||||
\date{Septembre 2023}
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||||
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||||
\begin{frame}
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||||
\titlepage{}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\section{DGP et modèle empirique}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Le modèle de la nature}
|
||||
\framesubtitle{Un modèle linéaire}
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
On suppose que les données ($y$) sont générées par le modèle suivant~:
|
||||
\[
|
||||
y_t = \beta_1x_{1,t} + \beta_2x_{2,t} + \dots + \beta_Kx_{K,t} + \varepsilon_t
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item $y$ est la variable endogène (ou expliquée).\newline
|
||||
|
||||
\item $x_{k}$, $k=1,\ldots,K$, sont les variables exogènes (ou explicatives).\newline
|
||||
|
||||
\item $\varepsilon_t$ est une variable aléatoire, elle rend compte de ce qui ne peut être expliqué par les variables $x_k$.\newline
|
||||
|
||||
\item La nature nous donne un échantillon $\{y_t,x_{1,t},\ldots,x_{K,t}\}_{t=1}^T$ ($T$ est le nombre d'observations).\newline
|
||||
|
||||
\item Les $K$ variables exogènes peuvent être déterministes (pour simplifier) ou aléatoires.\newline
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Le modèle de la nature}
|
||||
\framesubtitle{Variables exogènes déterministes ou aléatoires}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item Les variables exogènes sont déterministes $\Leftrightarrow$
|
||||
Lorsque l'économètre s'adresse à la nature afin d'obtenir un
|
||||
nouvel échantillon, elle lui renvoit toujours les mêmes valeurs
|
||||
pour les variables exogènes.\newline
|
||||
|
||||
\item Dans le cas de variables exogènes non
|
||||
stochastiques, $\varepsilon$ est la seule source d'aléa.\newline
|
||||
|
||||
\item[$\Rightarrow$] La loi de $y$ est directement déduite de celle de $\varepsilon$.\newline
|
||||
|
||||
\item Cette hypothèse simplifie grandement l'étude des propriétés de
|
||||
l'estimateur des Moindres Carrés Ordinaires, mais dans certaines
|
||||
circonstances elle est beaucoup trop forte (voire n'a aucun sens
|
||||
comme dans le cas des modèles dynamiques).\newline
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Le modèle de la nature}
|
||||
\framesubtitle{Variables exogènes déterministes ou aléatoires}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{subfigure}{0.4\textwidth}
|
||||
\scalebox{.3}{
|
||||
\input{images/chapitre-1/app-01-sample-nonstochastic-x.tex}}
|
||||
\caption{$x$ déterministe.}
|
||||
\label{fig:01:a}
|
||||
\end{subfigure}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{subfigure}{0.4\textwidth}
|
||||
\scalebox{.3}{
|
||||
\input{images/chapitre-1/app-01-sample-stochastic-x.tex}}
|
||||
\caption{$x$ stochastique.}
|
||||
\label{fig:01:b}
|
||||
\end{subfigure}
|
||||
\label{fig:01}
|
||||
\caption{Le modèle de la nature est $y_t = x_t + \varepsilon_t$ avec $x_t$ une variable exogène prenant des valeurs dans l'intervalle $[0,10]$ et $\varepsilon_t$ une variable alléatoire gaussienne centrée réduite avec $\mathbb E[\varepsilon_t\varepsilon_s]=0$ si $s\neq t$. Chaque figure représente 100 échantillons de 10 observations. Les codes pour reproduire ces graphiques sont disponibles \href{https://git.ithaca.fr/stepan/econometrics/src/commit/\HEAD/cours/codes/chapitre-1/app-001.py}{ici}.}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Le modèle de la nature}
|
||||
\framesubtitle{Représentation matricielle}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item Ce modèle peut être représenté matriciellement sous la forme :
|
||||
\[
|
||||
Y = X\beta + \varepsilon
|
||||
\]
|
||||
avec $Y = \left( y_1, y_2, \dots, y_T\right)'$ et $\varepsilon = \left( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_T\right)'$ des vecteurs $T\times 1$, $\beta = \left( \beta_1, \dots, \beta_K \right)'$ un vecteur $K\times 1$ et
|
||||
\[
|
||||
X =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
x_{1,1} & x_{2,1} & \dots & x_{K,1} \\
|
||||
x_{1,2} & x_{2,2} & \dots & x_{K,2} \\
|
||||
\vdots & \vdots & & \vdots \\
|
||||
x_{1,T} & x_{2,2} & \dots & x_{K,T} \\
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
une matrice $T\times K$.\newline
|
||||
|
||||
\item On notera $\mathbf x_t = (x_{1,t},x_{2,t}, \dots, x_{K,t})$ la t-ième observation pour les exogènes (un vecteur $1\times K$).
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Le modèle de la nature}
|
||||
\framesubtitle{Hypothèses}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item[$\mathcal H_1$] Les variables exogènes sont déterministes.\newline
|
||||
|
||||
\bigskip\bigskip
|
||||
|
||||
\item[$\mathcal H_2$] $X$ est une matrice de rang $K<T$ et vérifie :
|
||||
\[
|
||||
\lim_{T\rightarrow\infty} \frac{X'X}{T} = Q
|
||||
\]
|
||||
où $Q$ est une matrice symétrique définie positive.\newline
|
||||
|
||||
\bigskip\bigskip
|
||||
|
||||
\item[$\mathcal H_3$] $\varepsilon$ suit loi normale multivariée d'espérance nulle et de variance $\sigma_{\varepsilon}^2I_T$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Le modèle de l'économètre}
|
||||
\framesubtitle{Pas de mauvaise spécification}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item On suppose que l'économmètre connaît la forme du modèle de la nature.\newline
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\item Mais il ne connaît pas les valeurs des paramètres $\beta$ qu'il va chercher à estimer...\newline
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\item ... En utilisant l'unique échantillon que lui donne la nature.\newline
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\item Le modèle empirique est donc :
|
||||
\[
|
||||
Y = X\beta + \epsilon
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\section{Moindres Carrés Ordinaires}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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||||
|
||||
% Local Variables:
|
||||
% ispell-check-comments: exclusive
|
||||
% ispell-local-dictionary: "french"
|
||||
% TeX-master: t
|
||||
% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,55 @@
|
|||
import numpy as np
|
||||
|
||||
rng = np.random.default_rng(2211)
|
||||
|
||||
N = 100 # Nombre d'échantillons
|
||||
T = 10 # Taille de chaque échantillon
|
||||
|
||||
def y(x, ε):
|
||||
return x+ε
|
||||
|
||||
x = 10*rng.uniform(size=(T,1)) # Variable exogène déterminsite (utilisée pour YD)
|
||||
|
||||
ϵ = rng.normal(size=(T,N)) # Tableau où seront stockés les résidus pour les N échantillons
|
||||
|
||||
YD = np.zeros((T,N)) # N échantillons (pour y) avec variable exogène déterministe
|
||||
YS = np.zeros((T,N)) # N échantillons (pour y) avec variable exogène stochastique
|
||||
XS = np.zeros((T,N)) # N échantillons (pour x) avec variable exogène stochastique
|
||||
|
||||
for i in range(N):
|
||||
YD[:,i] = y(x, ϵ[:,i])[:,0]
|
||||
XS[:,i] = 10*rng.uniform(size=(T,1))[:,0]
|
||||
YS[:,i] = y(XS[:,i], ϵ[:,i])
|
||||
|
||||
import matplotlib.pyplot as plt
|
||||
|
||||
#
|
||||
# Représentation graphique d''échantillons avec variable exogène déterministe
|
||||
#
|
||||
|
||||
fig, ax = plt.subplots()
|
||||
|
||||
for i in range(N):
|
||||
ax.scatter(x, YD[:,i], marker='o', facecolors='none', edgecolor='black')
|
||||
|
||||
plt.savefig('app-01-sample-nonstochastic-x.tex', format='pgf')
|
||||
|
||||
#
|
||||
# Représentation graphique d''échantillons avec variable exogène stochastique
|
||||
#
|
||||
|
||||
fig, ax = plt.subplots()
|
||||
|
||||
for i in range(N):
|
||||
ax.scatter(XS[:,i], YS[:,i], marker='o', facecolors='none', edgecolor='black')
|
||||
|
||||
plt.savefig('app-01-sample-stochastic-x.tex', format='pgf')
|
||||
|
||||
#
|
||||
# Un peu de ménage
|
||||
#
|
||||
|
||||
from shutil import move
|
||||
|
||||
move('app-01-sample-nonstochastic-x.tex', 'images/chapitre-1/app-01-sample-nonstochastic-x.tex')
|
||||
move('app-01-sample-stochastic-x.tex', 'images/chapitre-1/app-01-sample-stochastic-x.tex')
|
||||
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
|
|
@ -0,0 +1,77 @@
|
|||
#+EMAIL: stepan@adjemian.eu
|
||||
#+STARTUP: latexpreview
|
||||
#+STARTUP: overview
|
||||
#+AUTHOR: Stéphane Adjemian
|
||||
#+TITLE: Codes pour le chapitre 1
|
||||
#+auto_tangle: t
|
||||
|
||||
* DGP et modèle empirique
|
||||
** Générer des échantillons avec des variables exogènes déterministes
|
||||
On suppose que les données sont générées par le modèle :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
y_t = x_t + \varepsilon_t\text{ avec }\varepsilon_t \underset{\mathrm{iid}}{\sim}\mathcal N(0,1)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
où $x_t$ est une variable déterministe dans l'intervalle $[0,10]$. La variable $y_t$ est donc normalement distribuée d'espérance $x_t$ et de variance 1, puisque l'unique source d'aléa est $\varepsilon_t$. La nature génère des échantillons de $T$ observations $\{y_t,x_t\}_{t=1}^T$. Deux échantillons sont différents parce les réalisations de $\{\varepsilon_t\}_{t=1}^T$ sont différentes à chaque fois que la nature génère un nouvel échantillon.
|
||||
|
||||
Dans le code suivant on génère 100 échantillons pour $y$ avec une variable exogène déterministe. Chaque échantillon est une colonne du tableau =Y= (dans la boucle en ligne $x$
|
||||
|
||||
#+begin_src python :results none :session :exports code :tangle "codes/chapitre-1/app-001.py"
|
||||
import numpy as np
|
||||
|
||||
rng = np.random.default_rng(2211)
|
||||
|
||||
N = 100 # Nombre d'échantillons
|
||||
T = 10 # Taille de chaque échantillon
|
||||
|
||||
def y(x, ε):
|
||||
return x+ε
|
||||
|
||||
x = 10*rng.uniform(size=(T,1)) # Variable exogène déterminsite (utilisée pour YD)
|
||||
|
||||
ϵ = rng.normal(size=(T,N)) # Tableau où seront stockés les résidus pour les N échantillons
|
||||
|
||||
YD = np.zeros((T,N)) # N échantillons (pour y) avec variable exogène déterministe
|
||||
YS = np.zeros((T,N)) # N échantillons (pour y) avec variable exogène stochastique
|
||||
XS = np.zeros((T,N)) # N échantillons (pour x) avec variable exogène stochastique
|
||||
|
||||
for i in range(N):
|
||||
YD[:,i] = y(x, ϵ[:,i])[:,0]
|
||||
XS[:,i] = 10*rng.uniform(size=(T,1))[:,0]
|
||||
YS[:,i] = y(XS[:,i], ϵ[:,i])
|
||||
|
||||
import matplotlib.pyplot as plt
|
||||
|
||||
#
|
||||
# Représentation graphique d''échantillons avec variable exogène déterministe
|
||||
#
|
||||
|
||||
fig, ax = plt.subplots()
|
||||
|
||||
for i in range(N):
|
||||
ax.scatter(x, YD[:,i], marker='o', facecolors='none', edgecolor='black')
|
||||
|
||||
plt.savefig('app-01-sample-nonstochastic-x.tex', format='pgf')
|
||||
|
||||
#
|
||||
# Représentation graphique d''échantillons avec variable exogène stochastique
|
||||
#
|
||||
|
||||
fig, ax = plt.subplots()
|
||||
|
||||
for i in range(N):
|
||||
ax.scatter(XS[:,i], YS[:,i], marker='o', facecolors='none', edgecolor='black')
|
||||
|
||||
plt.savefig('app-01-sample-stochastic-x.tex', format='pgf')
|
||||
|
||||
#
|
||||
# Un peu de ménage
|
||||
#
|
||||
|
||||
from shutil import move
|
||||
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