Add post. Représentation MA du processus AR(2).
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8a36a0dcea
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dc4cc9fe57
GPG Key ID:
295C1FE89E17EB3C
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@ -0,0 +1 @@
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blog/representation-ma-du-processus-ar2/ltximg/*
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9
Makefile
9
Makefile
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@ -1,6 +1,6 @@
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.PHONY: all publish push assets
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.PHONY: all publish push assets clean
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all: publish assets
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all: publish assets clean
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publish:
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@emacs --batch --no-init --load publish.el --funcall org-publish-all
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@ -23,5 +23,8 @@ assets:
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@rsync assets/stepan.gpg-pub.asc output
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@rsync assets/favicon.ico output
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push: publish assets
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clean:
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@rm -rf output/posts/representation-ma-du-processus-ar2/ltximg
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push: publish assets clean
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@rsync --recursive -avz --progress output/* odysseus:/home/www/stephane-adjemian.fr
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@ -0,0 +1,226 @@
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#+OPTIONS: H:3 num:nil toc:nil \n:nil @:t ::t |:t ^:nil -:t f:t *:t TeX:t LaTeX:t skip:t d:t tags:not-in-toc creator:t timestamp:nil author:nil title:nil
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#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/stylesheet-blog.css">
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#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../fontawesome/css/all.css" />
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#+LANGUAGE: fr
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#+TITLE: Représentation MA d'un AR(2) à racines réelles
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#+DATE: Février 2022
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#+AUTHOR: Stéphane Adjemian
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#+EMAIL: stephane.adjemian@univ-lemans.fr
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* Un processus AR(2)
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On peut construire un processus AR(2) asymptotiquement stationnaire en composant deux processus
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AR(1) asymptotiquement stationnaires. Soit $(X_t, t\in\mathbb Z)$ un processus AR(1) défini par :
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\[
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X_t = \rho_1 X_{t-1} + \varepsilon_t
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\]
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avec l'innovation $\varepsilon_t$ un bruit blanc centré de variance
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$\sigma_{\varepsilon}^2$ et $|\rho_1|<1$. De façon équivalente, en inversant le
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polynôme retard[fn:1: On peut inverser ce polynome retard car le coefficient
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autorégressif est différent de 1.], on a :
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\[
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X_t = (1-\rho_1L)^{-1}\varepsilon_t
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\]
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On définit le processus $(Y_t, t\in\mathbb Z)$ de la
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façon suivante :
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\[
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Y_t = \rho_2 Y_{t-1} + X_t
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\]
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avec $|\rho_2|<1$. On montre facilement que ce processus est un processus AR(2)
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asymptotiquement stationnaire. On a :
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\[
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(1-\rho_2 L) Y_t = X_t
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\]
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soit, en substituant la définition de $X_t$ (obtenue en inversant le polynôme
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retard $1-\rho_1 L$) :
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\[
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(1-\rho_2 L) Y_t = (1-\rho_1 L)^{-1} \varepsilon_t
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\]
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En multipliant par $1-\rho_1 L$, il vient :
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\[
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(1-\rho_1 L)(1-\rho_2 L) Y_t = \varepsilon_t
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\]
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\[
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\Leftrightarrow\left((1-(\rho_1+\rho_2) L+\rho_1\rho_2 L^2\right) Y_t = \varepsilon_t
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\]
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\[
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\Leftrightarrow Y_t = (\rho_1+\rho_2)Y_{t-1} - \rho_1\rho_2 Y_{t-2} \varepsilon_t
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\]
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Il s'agit bien d'un AR(2) et les racines du polynôme retard ($1/\rho_1$ et
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$1/\rho_2$) sont bien plus grandes que 1 en valeur absolue. Notons qu'il n'est pas
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toujours possible d'écrire un AR(2) comme la composition de deux AR(1) réels,
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tout simplement parce que les racines du polynôme retard ne sont pas toujours
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réelles et il faudrait donc composer des AR(1) complexes.
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* 1ère approche de la représentation MA($\infty$)
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On peut obtenir la représentation MA($\infty$) en inversant les polynômes retard
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$1-\rho_2 L$ et $1-\rho_1 L$ :
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\[
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(1-\rho_2 L) Y_t = \sum_{i=0}^{\infty} \rho_1^i\varepsilon_{t-i}
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\]
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\[
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\Leftrightarrow Y_t = \sum_{j=0}^{\infty}\rho_2^j L^j \sum_{i=0}^{\infty} \rho_1^i\varepsilon_{t-i}
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\]
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\[
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||||
\Leftrightarrow Y_t = \sum_{j=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty} \rho_2^j\rho_1^i\varepsilon_{t-i-j}
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\]
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\[
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||||
\Leftrightarrow Y_t = \sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{i=0}^{k} \rho_1^i\rho_2^{k-i}\right)\varepsilon_{t-k}
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\]
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L'intérêt de cette écriture est que l'on voit clairement comment les coefficients moyenne mobile :
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\[
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\theta_k = \sum_{i=0}^{k} \rho_1^i\rho_2^{k-i}
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\]
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dépendent de (l'inverse) des racines du polynôme retard, c'est à dire des
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racines du polynôme caractéristique associé à l'AR(2). Ces paramètres tendent
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vers 0 quand $k$ tend vers l'infini. On peut montrer que la suite
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$(\theta_k)_{k\in\mathbb N}$ est absolument sommable. En effet :
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\begin{eqnarray*}
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\sum_{k=0}^{\infty} |\theta_k| &=& \sum_{k=0}^{\infty} \left|\sum_{i=0}^{k} \rho_1^i\rho_2^{k-i}\right|\\
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||||
&=& \sum_{k=0}^{\infty} \left|\rho_2^k\frac{1-\left(\frac{\rho_1}{\rho_2}\right)^{k+1}}{1-\frac{\rho_1}{\rho_2}}\right|\\
|
||||
&=& \sum_{k=0}^{\infty} \left|\frac{\rho_2^k-\frac{\rho_1}{\rho_2}\rho_1^k}{1-\frac{\rho_1}{\rho_2}}\right|\\
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||||
&=& \left|\frac{\rho_2}{\rho_2-\rho_1}\right|\sum_{k=0}^{\infty} \left|\rho_2^k-\frac{\rho_1}{\rho_2}\rho_1^k\right|\\
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||||
&\leq& \left|\frac{\rho_2}{\rho_2-\rho_1}\right|\sum_{k=0}^{\infty} \left(\left|\rho_2\right|^k+\left|\frac{\rho_1}{\rho_2}\right|\left|\rho_1\right|^k\right)<\infty
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\end{eqnarray*}
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puisque les coefficients autorégressifs $\rho_1$ et $\rho_2$ sont strictement
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inférieurs à un en valeur absolue.
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* 2nd approche de la représentation MA($\infty$)
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En pratique, on n'utilise pas cette définition des coefficients moyenne mobile
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$(\theta_k)_{k\in\mathbb N}$ mais une définiton récursive. Pour cela on inverse
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directement le polynôme retard $\Phi(L) = 1-(\rho_1+\rho_2)L + \rho_1\rho_2L^2$.
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Son inverse est un polynôme retard de la forme $\Theta(L) =
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\sum_{i=0}^{\infty}\theta_iL^i$ tel que :
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\[
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\Phi(L)\Theta(L) = 1
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\]
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c'est-à-dire tel que :
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\[
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\left(1-(\rho_1+\rho_2)L + \rho_1\rho_2L^2\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}\theta_iL^i\right) = 1
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\]
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ou encore :
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\[
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\sum_{i=0}^{\infty}\theta_iL^i-(\rho_1+\rho_2)\sum_{i=0}^{\infty}\theta_iL^{i+1} + \rho_1\rho_2\sum_{i=0}^{\infty}\theta_iL^{i+2} = 1
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\]
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\[
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\Leftrightarrow \theta_0 + \Bigl(\theta_1-(\rho_1+\rho_2)\theta_0\Bigr) L + \Bigl(\theta_2 -(\rho_1+\rho_2)\theta_1+\rho_1\rho_2\theta_0\Bigr) L^2 + \sum_{i=3}^{\infty}\Bigl(\theta_i-(\rho_1+\rho_2)\theta_{i-1}+\rho_1\rho_2\theta_{i-2}\Bigr) L^i= 1
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\]
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Par identification[fn:2: Les coefficients associés aux puissances positives de
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$L$ doivent être nuls.], on obtient le système suivant :
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\begin{cases}
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\theta_0 &= 1\\
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||||
\theta_1 - (\rho_1+\rho_2)\theta_0 &= 0\\
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||||
\theta_2 - (\rho_1+\rho_2)\theta_1 + \rho_1\rho_2 \theta_0 &= 0\\
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||||
&\vdots\\
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||||
\theta_k - (\rho_1+\rho_2)\theta_{k-1} + \rho_1\rho_2 \theta_{k-2} &= 0\\
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&\vdots
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\end{cases}
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et donc :
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\begin{cases}
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\theta_0 &= 1\\
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||||
\theta_1 &= (\rho_1+\rho_2)\theta_0\\
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||||
\theta_2 &= (\rho_1+\rho_2)\theta_1 - \rho_1\rho_2 \theta_0\\
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||||
&\vdots\\
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||||
\theta_k &= (\rho_1+\rho_2)\theta_{k-1} - \rho_1\rho_2 \theta_{k-2}\\
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||||
&\vdots
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||||
\end{cases}
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On note que la définition récursive du coefficient moyenne mobile ressemble
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beaucoup à la définiton récursive de la fonction d'autocovariance de l'AR(2). Il
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est bien sûr possible de retrouver un terme général pour $\theta_k$ à partir de
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l'équation récurrente pour le coefficient moyenne mobile, afin de comparer cette
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expression récursive avec le résultat que nous avions obtenu plus haut. On sait
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que les racines du polynôme caractéristiques $\chi(z) = z^2-(\rho_1+\rho_2)z +
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\rho_1\rho_2$ sont $\rho_1$ et $\rho_2$. La solution générale[fn:3: Voir « Cours
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de mathématiques pour économistes » de Philippe Michel, édité chez Economica
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(1989).], on suppose que les deux racines sont différentes[fn:4: Que devient la
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solution si $\rho_1=\rho_2$ ?], est donc de la forme :
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\[
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\theta_k = \alpha \rho_1^k + \beta \rho_2^k
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\]
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Nous pouvons alors identifier les constantes $\alpha$ et $\beta$ à l'aide des conditions initiales de la récurrence, que $\theta_0=1$ et $\theta_1=\rho_1+\rho_2$. Nous devons donc avoir :
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\begin{cases}
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\alpha+\beta &= 1\\
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\alpha\rho_1+\beta\rho_2 &= \rho_1+\rho_2
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\end{cases}
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ainsi, en substituant la première équation dans la seconde :
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\[
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\alpha\rho_1+(1-\alpha)\rho_2 = \rho_1+\rho_2
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\]
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\[
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\Leftrightarrow \alpha(\rho_1-\rho_2)+\rho_2 = \rho_1+\rho_2
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\]
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\[
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\Leftrightarrow \alpha = \frac{\rho_1}{\rho_1-\rho_2}
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\]
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et donc
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\[
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\beta = -\frac{\rho_2}{\rho_1-\rho_2}
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\]
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Finalement, on obtient :
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\[
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\theta_k = \frac{\rho_1}{\rho_1-\rho_2} \rho_1^k - \frac{\rho_2}{\rho_1-\rho_2} \rho_2^k
|
||||
\]
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On vérifie que cela correspond bien à l'expression donnée plus haut :
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\begin{eqnarray*}
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\theta_k &=& \sum_{i=0}^{k} \rho_1^i\rho_2^{k-i}\\
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||||
&=& \rho_2^k \sum_{i=0}^{k} \left(\frac{\rho_1}{\rho_2}\right)^i\\
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||||
&=& \rho_2^k \frac{1-\left(\frac{\rho_1}{\rho_2}\right)^{k+1}}{1-\frac{\rho_1}{\rho_2}}\\
|
||||
&=& \frac{\rho_2}{\rho_2-\rho_1}\left(\rho_2^k - \frac{\rho_1}{\rho_2}\rho_1^k\right)\\
|
||||
&=& \frac{\rho_2}{\rho_1-\rho_2}\left(\frac{\rho_1}{\rho_2}\rho_1^k - \rho_2^k\right)\\
|
||||
&=& \frac{\rho_1}{\rho_1-\rho_2} \rho_1^k - \frac{\rho_2}{\rho_1-\rho_2} \rho_2^k
|
||||
\end{eqnarray*}
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\\
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\\
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@ -18,3 +18,9 @@
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- [[./representation-ma-du-processus-ar2][Représentation MA($\infty$) d'un processus AR(2) à racines réelles]]
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Reference in New Issue