Various fixes in blog post.

Makefile

@@ -11,6 +11,8 @@ publish:
 	sed -i '/<title>&lrm;<\/title>/d' ./output/teaching/economic-calculus/index.html
 	sed -i '/<title>&lrm;<\/title>/d' ./output/teaching/growth/index.html
 	sed -i '/<title>&lrm;<\/title>/d' ./output/teaching/time-series/index.html
+	sed -i 's/<pre class="src src-python">/<pre><code class="language-python">/g' ./output/posts/simulation-du-modele-de-solow/index.html
+	sed -i 's/<\/pre>/<\/code><\/pre>/g' ./output/posts/simulation-du-modele-de-solow/index.html
 
 assets:
 	@rsync --recursive -avz assets/fonts output

blog/simulation-du-modele-de-solow/index.org

@@ -1,6 +1,9 @@
 #+OPTIONS:   H:3 num:nil toc:nil \n:nil @:t ::t |:t ^:nil -:t f:t *:t TeX:t LaTeX:t skip:t d:t tags:not-in-toc creator:t timestamp:nil author:nil title:nil
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 #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../fontawesome/css/all.css" />
+#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" href="../../highlight/styles/base16/solarized-light.min.css">
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+#+HTML_HEAD: <script>hljs.highlightAll();</script>
 #+LANGUAGE: fr
 #+TITLE: Simulation du modèle de Solow
 #+DATE: Février 2022
@@ -24,19 +27,6 @@ physique agrégé, $K$, est donc :
 \dot K(t) = s K(t)^{\alpha}\bigl(A(t)L(t)\bigr)^{1-\alpha} - \delta K(t)
 \]
 
-On aimerait, pour une condition initiale arbitraire, déterminer la trajectoire
-du capital ou de la production à partir de cette équation. Il s'agit d'une
-équation différentielle non linéaire que nous pourrions résoudre, au moins
-numériquement, mais en l'état l'analyse de la dynamique serait malaisée car
-cette équation n'est pas autonome : le lien entre la variation de $K$ et son
-niveau n'est pas stable dans le temps, à cause de la population et de
-l'efficacité du travail qui augmentent à chaque instant. Au préalable on
-transforme le modèle en éliminant ces deux sources exogènes de croissance. Si on note $n$
-et $x$ les taux de croissance (supposés constants) de la population $L$ et de
-l'efficacité du travail $A$, on peut facilement montrer que la dynamique du
-stock de capital par tête efficace $\hat k(t) = \frac{K(t)}{A(t)L(t)}$ est
-donnée par :
-
 où $s\in]0,1[$ est le taux d'épargne, $\delta\in]0,1[$ le taux de dépréciation,
 $L$ la population, $A$ l'efficacité du travail, et on notera
 $Y=K^{\alpha}\bigl(AL\bigr)^{1-\alpha}$ la production (identique au revenu dans
@@ -44,6 +34,21 @@ ici). Cette équation nous dit que le stock de capital physique agrégé de
 l'économie augmente si et seulement si l'investissement est supérieur à la
 dépréciation du capital.
 
+\\
+
+On aimerait, pour une condition initiale arbitraire, déterminer la trajectoire
+du capital ou de la production à partir de cette équation. Il s'agit d'une
+équation différentielle non linéaire que nous pourrions résoudre, au moins
+numériquement, mais en l'état l'analyse de la dynamique serait malaisée car
+cette équation n'est pas autonome : le lien entre la variation de $K$ et son
+niveau n'est pas stable dans le temps, car la population et
+l'efficacité du travail augmentent à chaque instant. Au préalable on
+transforme le modèle en éliminant ces deux sources exogènes de croissance. Si on note $n$
+et $x$ les taux de croissance (supposés constants) de la population $L$ et de
+l'efficacité du travail $A$, on peut facilement montrer que la dynamique du
+stock de capital par tête efficace $\hat k(t) = \frac{K(t)}{A(t)L(t)}$ est
+donnée par :
+
 \[
 \dot {\hat k}(t) = s \hat k(t)^{\alpha} - (n+x+\delta)\hat k(t)
 \]
@@ -55,6 +60,8 @@ le niveau invariante dans le temps, il sera plus simple d'étudier la dynamique
 partir de cette équation. On pourra toujours revenir aux variables agrégées, en
 notant que par définition on a $K(t)=\hat k(t)A(t)L(t)$.
 
+\\
+
 Cette équation différentielle admet un unique état stationnaire strictement
 positif :
 
@@ -77,12 +84,14 @@ analytiquement l'équation différentielle, mais nous pourrions établir de faç
 plus générale ce résultat (cela fera l'objet d'un autre article) sans identifier
 explicitement la solution de l'équation différentielle.
 
+\\
+
 Nous utilisons Python, ainsi que les librairies =numpy= et =scipy= pour résoudre
 numériquement l'équation différentielle. Nous devons d'abord définir le problème
 à résoudre. La fonction suivante retourne la variation du stock de capital par
 tête efficace associée à un niveau de capital par tête efficace :
 
-#+begin_src python :session :exports code
+#+begin_src python :session  :exports code
   def dotk(k, t, alpha, s, n, x, delta):
       return s*k**alpha-(n+x+delta)*k
 #+end_src
@@ -106,6 +115,8 @@ initiale en ayant les idées précises sur la distance initiale à l'état
 stationnaire (qui en principe doit aussi être le niveau de long terme du stock
 de capital par tête efficace).
 
+\\
+
 Finalement le bloc de code suivant utilise la fonction =odeint= de la librairie
 =scipy= pour résoudre l'équation différentielle :
 
@@ -120,7 +131,7 @@ Finalement le bloc de code suivant utilise la fonction =odeint= de la librairie
   n = .02
   x = .02
   delta = .02
-  # Condition initiale (50% de l'état stationnaire)
+  # Conditions initiales (en déviation à l'état stationnaire)
   kinit0 = 0.05*kstar(alpha, s, n, x, delta)
   kinit1 = 1.95*kstar(alpha, s, n, x, delta)
   # Résolution de l'équation différentielle (transition vers l'état stationnaire)
@@ -186,9 +197,11 @@ $\hat k<\hat k^{\star}$ et que le taux de croissance est une fonction monotone
 décroissante du niveau de stock de capital par tête efficace (ces deux
 propriétés sont des conséquences de l'hypothèse $\alpha<1$).
 
+\\
+
 La figure suivante représente la fonction $g(\hat k)$ (la courbe bleue), elle
-passe bien par 0 à l'état stationnaire (intersection des droites rouges) et
-conformément à ce que nous pouvions voir plus haut elle est monotone
+passe bien par 0 à l'état stationnaire (intersection des droites rouges) et,
+conformément à ce que nous pouvions voir plus haut, elle est monotone
 décroissante (on devine l'asymptote verticale en 0 et l'asymptote horizonale en
 $-(n+x+\delta)$).
 #+begin_src python :session :exports none
@@ -213,6 +226,8 @@ n'est pas forcément très intéressant de simuler ce modèle, mais l'approche
 numérique peut se révéler intéressante, voire indispensable, si on complexifie
 le modèle.
 
+\\
+
 Il convient néanmoins de s'interroger sur la pertinence de cette solution
 numérique. D'un point de vue qualitatif nous venons de voir qu'il n'y avait a
 priori pas de problème ici (nous retrouvons les propriétés attendues). Dans la
@@ -267,7 +282,7 @@ second membre ($Ae^{-(1-\alpha)(n+x+\delta)t}$) :
 z(t) = \frac{s}{n+x+\delta} + A e^{-(1-\alpha)(n+x+\delta)t}
 \]
 
-Si on dispose d'une condition initiale z(0), alors la solution qui satisfait cette condition est :
+Si on dispose d'une condition initiale $z(0)$, alors la solution qui satisfait cette condition est :
 
 \[
 z(t) = \frac{s}{n+x+\delta} + \left(z(0)-\frac{s}{n+x+\delta}\right) e^{-(1-\alpha)(n+x+\delta)t}
@@ -293,6 +308,8 @@ Nous avons donc bien que, dans ce modèle, l'état stationnaire est
 asymptotiquement globalement stable. En passant, on reconnaît sous
 l'exponentielle la vitesse de convergence $\beta = (1-\alpha)(n+x+\delta)$.
 
+\\
+
 Nous souhaitons maintenant comparer cette solution, par construction exacte,
 avec la solution numérique. La fonction suivante permet de calculer $\hat k$ a
 un instant $t$ quelconque étant donnée une condition initiale $\hat k(0)$.
@@ -392,13 +409,13 @@ courbe bleue par sa tangente en $\hat k^{\star}$ (la droite verte dans la figure
 #+RESULTS:
 [[file:None]]
 
-#+CAPTION: *Taux de croissance du stock de capital physique par tête efficace (approximation).* 
+#+CAPTION: *Taux de croissance approximé du stock de capital physique par tête efficace.* 
 #+LABEL: fig:k-growth-2
 [[file:img/k-growth-2.svg]]
 
 On devine sur ce graphique que les erreurs d'approximation (la différence entre
 la courbe bleue et la droite verte) sont ici beaucoup plus importantes que les
-erreurs numériques calculées dans la section précédante. On remarque que les erreurs
+erreurs numériques calculées dans la section précédante. On remarque que les erreurs :
 
  - sont d'autant plus importantes que l'on s'éloigne de l'état stationnaire,
 
@@ -410,12 +427,14 @@ erreurs numériques calculées dans la section précédante. On remarque que les
    convexe, le taux de croissance approximé est toujours inférieur au taux de
    croissance théorique.
 
+\\
+ 
 Ces différences, que nous observons ici graphiquement, ont évidemment des
 conséquences sur les trajectoires que nous pouvons calculer. Avec
 l'approximation d'ordre 1, nous avons :
 
 \[
-g(\hat k) \approx  -(1-\alpha)s \hat k^{\star}^{\alpha-1}\frac{\hat k - \hat k^{\star}}{\hat k^{\star}}
+g(\hat k) \approx  -(1-\alpha)s \left. \hat k^{\star}\right. ^{\alpha-1}\frac{\hat k - \hat k^{\star}}{\hat k^{\star}}
 \]
 
 En substituant lé définition de l'état stationnaire, il vient :
@@ -469,8 +488,8 @@ initiale à l'état stationnaire est donnée par :
 
 La dernière équation, issue de la log-linéarisation de la dynamique, doit être
 comparée à l'équation exacte obtenue plus haut pour $\hat k(t)$. La figure
-[[fig:k-approx-1]] compare les dynamiques approximées (tirets) et exactes (traits
-pleins). Comme nous pouvions l'anticiper la différence est plus importante quand
+[[fig:k-approx-1]] compare les dynamiques approximées (tirets) et exactes (trait
+plein). Comme nous pouvions l'anticiper la différence est plus importante quand
 on considère une condition initiale inférieure à l'état stationnaire, car c'est
 quand le stock de capital se rapproche de zéro que la courbure du modèle devient
 plus importante.
@@ -514,7 +533,3 @@ semble aussi significativement plus lente à rejoindre l'état stationnaire. Cec
 suggère que la mesure de la vitesse d'ajustement que nous avons l'habitude
 d'utiliser ($\beta = (1-\alpha)(n+x+\delta)$, obtenue en log-linéarisant la
 dynamique), sous estime la vitesse d'ajustement vers l'état stationnaire.
-
-# Local Variables:
-# org-confirm-babel-evaluate: nil
-# End: