diff --git a/Makefile b/Makefile index 8882aee..a68bcad 100644 --- a/Makefile +++ b/Makefile @@ -35,6 +35,7 @@ clean: @rm -rf output/posts/representation-ma-du-processus-ar2/.ltx @rm -rf output/posts/simulation-du-modele-de-solow/.ltx @rm -rf output/posts/modele-de-solow/.ltx + @rm -rf output/posts/fonction-de-production-ces/.ltx push: publish assets clean @rsync --recursive -avz --progress output/* ulysses:/home/www/stephane-adjemian.fr diff --git a/blog/fonction-de-production-ces/index.org b/blog/fonction-de-production-ces/index.org new file mode 100644 index 0000000..9cc2591 --- /dev/null +++ b/blog/fonction-de-production-ces/index.org @@ -0,0 +1,202 @@ +#+OPTIONS: H:3 num:nil toc:nil \n:nil @:t ::t |:t ^:nil -:t f:t *:t TeX:t LaTeX:t skip:t d:t tags:not-in-toc creator:t timestamp:nil author:nil title:nil +#+HTML_HEAD: +#+HTML_HEAD: +#+HTML_HEAD: +#+HTML_HEAD: +#+HTML_HEAD: +#+HTML_HEAD: +#+LANGUAGE: fr +#+STARTUP: latexpreview +#+TITLE: Propriétés de la fonction de production CES +#+DATE: Octobre 2022 +#+AUTHOR: Stéphane Adjemian +#+EMAIL: stephane.adjemian@univ-lemans.fr + +#+BEGIN_QUOTE +En cours nous abordons le modèle de Solow avec une fonction de production +Cobb-Douglas. Pour bien comprendre l'importance des différentes propriétés des +fonctions de production néoclassiques, il est utile de voir comment les +prédictions du modèle changent avec une autre fonction de production. Je +présente rapidement ici la fonction de production CES. +#+END_QUOTE + +\\ +\\ +\\ + +La fonction de production CES (pour Constant Elasticity of Substitution) est +définie par : + +\[ +F(K, L) = \left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}} +\] + +avec $0<\gamma<1$ et $\gamma<1$. On peut montrer, voir plus bas, que le paramètre $\gamma$ +détermine l'élasticité de substitution entre les facteurs~: \[ \sigma = +\frac{1}{1-\gamma} \] qui est constante (d'où le nom de la fonction de +production). Cette élasticité peut donc prendre, selon la valeur du paramètre +$\gamma$, des valeurs entre $0$ (les facteurs sont parfaitement complémentaires) +et $\infty$ (les facteurs sont parfaitement substituables).\\ + + +#+BEGIN_property +La fonction $F$ est homogène de degré un. +#+END_property + +La fonction de production CES, définie plus haut, est donc à rendements d'échelle constants. Il est donc possible de définir la fonction de +production intensive en exprimant la production par tête comme une fonction du +stock de capital par tête : +\[ f(k) = \left(a k^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1}{\gamma}} \] + +#+BEGIN_property +Les productivités marginales sont positives. +#+END_property + +#+BEGIN_proof +Pour la productivité marginale du capital, nous avons : + +\begin{equation*} +\begin{split} +F_K(K,L) &= \frac{1}{\gamma} a \gamma K^{\gamma-1}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}-1}\\ +&= a K^{\gamma-1}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}-1}\\ +&= a K^{-\frac{1-\gamma}{\gamma}\gamma}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\\ +&= a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\geq 0 +\end{split} +\end{equation*} + +La productivité marginale du capital dépend du stock de capital par tête, la +productivité marginale du capital est homogène de degré zéro puisque la fonction +de production est homogène de degré un. De la même façon, pour la productivité +marginale du travail, on montre que : + +\[ +F_L(K,L) = (1-a)\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\geq 0 +\] +#+END_proof + +#+BEGIN_property +Les productivités marginales sont décroissantes. +#+END_property + +#+BEGIN_proof +La productivité du capital est une fonction +décroissante du stock de capital par tête, $k$ : + +\[ +\frac{\mathrm d F_K}{\mathrm d k} = -a(1-a)(1-\gamma)k^{-\gamma-1}\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}-1}<0 +\] + +pour toute valeur admissible de $\gamma<1$. De la même façon on montre que la +productivité marginale du travail est toujours une fonction croissante du stock +de capital par tête. Par ailleurs, le stock de capital par tête est une fonction +croissante de $K$ et décroissante de $L$. Au total, la productivité marginale du +capital (respectivement du travail) est une fonction décroissante du capital +(respectivement du travail). +#+END_proof + +#+BEGIN_property +L'élasticité de substitution entre les facteurs est constante. +#+END_property + +#+BEGIN_proof +On peut définir l'isoquant de niveau $\bar Y$ comme l'ensemble des couples +$(L,K)$ tels que $F(K,L)=\bar Y$. Le long d'un isoquant, nous devons donc +avoir : + +\[ +F_K(K,L)\mathrm dK + F_L(K,L)\mathrm d L = 0 +\] + +\[ +\Leftrightarrow \frac{\mathrm dK}{\mathrm d L} =- \frac{F_L(K,L)}{F_K(K,L)} +\] + +la pente de l'isoquant de niveau $\bar Y$ en un point $(K,L)$, A.K.A. le TMST +(au signe près). Dans le cas de la fonction CES, on a : + +\[ +\textrm{TMST}(K,L) = \frac{(1-a)\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}{a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}} +\] + +\[ +\Leftrightarrow \textrm{TMST}(K,L) = \frac{(1-a)}{a} k^{1-\gamma} +\] + +\[ +\Rightarrow \log \textrm{TMST}(K,L) = \log\frac{(1-a)}{a} +(1-\gamma) \log k +\] + +\[ +\Rightarrow \frac{\mathrm d \textrm{TMST}}{\textrm{TMST}} = (1-\gamma)\frac{\mathrm d k}{k} +\] + +\[ +\Leftrightarrow \underbrace{\frac{\frac{\mathrm d k}{k}}{\frac{\mathrm d \textrm{TMST}}{\textrm{TMST}}}}_{\sigma} = \frac{1}{1-\gamma} +\] + +L'élasticité de substitution entre les facteurs $K$ et $L$, que nous noterons +$\sigma$, caractérise la courbure de l'isoquant en reliant le taux de variation +du ratio des facteurs, $k=\frac{K}{L}$, au taux de variation de la pente de +l'isoquant. +#+END_proof + +#+BEGIN_property +L'élasticité de la production par rapport au capital n'est pas constante. +#+END_property + + +#+BEGIN_proof +L'élasticité de la production par rapport au stock de capital est définie par : + +\[ +\epsilon_{Y/K} = \frac{F_K(K,L)}{\frac{F(K,L)}{K}} +\] + +le rapport de la productivité marginale et de la productivité moyenne. Nous avons +exprimé plus haut la productivité marginale en fonction de $k$, nous pouvons faire de +même pour la productivité moyenne : + +\begin{equation*} +\begin{split} +\frac{F(K,L)}{K} &= K^{-\frac{\gamma}{\gamma}}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\ +&= \left(a + (1-a)\left(\frac{L}{K}\right)^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\ +&= \left(a + (1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\ +\end{split} +\end{equation*} + +Ainsi : + +\[ +\epsilon_{Y/K}(k) = \frac{a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}{\left(a + (1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}} +\] + +\[ +\Leftrightarrow \epsilon_{Y/K}(k) = \frac{a}{a + (1-a)k^{-\gamma}} +\] +#+END_proof + +#+BEGIN_property +L'élasticité de la production par rapport au capital est une fonction monotone croissante de $k$ si $0<\gamma<1$, monotone décroissante si $\gamma<0$. De plus on a : +\begin{equation*} +\lim_{k\rightarrow\infty}\epsilon_{Y/K}(k) = +\begin{cases} +1, &\text{ si } 0<\gamma<1\\ +0 &\text{ si } \gamma<0 +\end{cases} +\end{equation*} +#+END_property + +Quand $\gamma>0$, c'est-à-dire $\sigma>1$, la fonction de production devient +asymptotiquement linéaire. Ce qui explique pourquoi, une fois plongée dans le +modèle de Solow, cette fonction de production génère éventuellement de la +croissance endogène[fn:1: le modèle génère éventuellement de la croissance +endogène quand les facteurs sont plus substituables que dans le cas Cobb-Douglas +(nous avons montré, en cours, que dans ce cas l'élasticité de substitution est +$\sigma=1$)]. + +\\ + +La fonction de production CES peut être interprétée comme une généralisation de +la fonction de production Cobb-Douglas. Il suffit de noter que lorsque $\gamma$ +se rapproche de zéro, $\sigma$ tend vers un, le $\mathrm{TMST}$ de la CES +converge vers le $\mathrm{TMST}$ de la Cobb-Douglas pour tout $k>0$. diff --git a/pages/posts/index.org b/pages/posts/index.org index b6de2a8..c8bdc84 100644 --- a/pages/posts/index.org +++ b/pages/posts/index.org @@ -9,8 +9,8 @@ #+BEGIN_EXPORT html #+END_EXPORT @@ -27,6 +27,8 @@ - [[./representer-graphiquement-une-serie-temporelle-du-pib][Représenter graphiquement une série temporelle du PIB]] +- [[./fonction-de-production-ces][Propriétés de la fonction de production CES]] + \\ \\ \\