La fonction de production CES.
parent
a1e942375b
commit
531b6bec1a
GPG Key ID:
295C1FE89E17EB3C
1
Makefile
1
Makefile
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@ -35,6 +35,7 @@ clean:
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@rm -rf output/posts/representation-ma-du-processus-ar2/.ltx
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@rm -rf output/posts/simulation-du-modele-de-solow/.ltx
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@rm -rf output/posts/modele-de-solow/.ltx
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||||
@rm -rf output/posts/fonction-de-production-ces/.ltx
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push: publish assets clean
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@rsync --recursive -avz --progress output/* ulysses:/home/www/stephane-adjemian.fr
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@ -0,0 +1,202 @@
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#+OPTIONS: H:3 num:nil toc:nil \n:nil @:t ::t |:t ^:nil -:t f:t *:t TeX:t LaTeX:t skip:t d:t tags:not-in-toc creator:t timestamp:nil author:nil title:nil
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||||
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/stylesheet-blog.css">
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#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/theorems-fr.css">
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#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../fontawesome/css/all.css" />
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#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" href="../../highlight/styles/base16/solarized-light.min.css">
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#+HTML_HEAD: <script src="../../highlight/highlight.min.js"></script>
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#+HTML_HEAD: <script>hljs.highlightAll();</script>
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#+LANGUAGE: fr
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#+STARTUP: latexpreview
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#+TITLE: Propriétés de la fonction de production CES
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#+DATE: Octobre 2022
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#+AUTHOR: Stéphane Adjemian
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#+EMAIL: stephane.adjemian@univ-lemans.fr
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#+BEGIN_QUOTE
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En cours nous abordons le modèle de Solow avec une fonction de production
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Cobb-Douglas. Pour bien comprendre l'importance des différentes propriétés des
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fonctions de production néoclassiques, il est utile de voir comment les
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prédictions du modèle changent avec une autre fonction de production. Je
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présente rapidement ici la fonction de production CES.
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#+END_QUOTE
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La fonction de production CES (pour Constant Elasticity of Substitution) est
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définie par :
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\[
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F(K, L) = \left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}
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\]
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avec $0<\gamma<1$ et $\gamma<1$. On peut montrer, voir plus bas, que le paramètre $\gamma$
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détermine l'élasticité de substitution entre les facteurs~: \[ \sigma =
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\frac{1}{1-\gamma} \] qui est constante (d'où le nom de la fonction de
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production). Cette élasticité peut donc prendre, selon la valeur du paramètre
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$\gamma$, des valeurs entre $0$ (les facteurs sont parfaitement complémentaires)
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et $\infty$ (les facteurs sont parfaitement substituables).\\
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#+BEGIN_property
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La fonction $F$ est homogène de degré un.
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#+END_property
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La fonction de production CES, définie plus haut, est donc à rendements d'échelle constants. Il est donc possible de définir la fonction de
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production intensive en exprimant la production par tête comme une fonction du
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stock de capital par tête :
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\[ f(k) = \left(a k^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1}{\gamma}} \]
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#+BEGIN_property
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Les productivités marginales sont positives.
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#+END_property
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#+BEGIN_proof
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Pour la productivité marginale du capital, nous avons :
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\begin{equation*}
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\begin{split}
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F_K(K,L) &= \frac{1}{\gamma} a \gamma K^{\gamma-1}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}-1}\\
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||||
&= a K^{\gamma-1}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}-1}\\
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||||
&= a K^{-\frac{1-\gamma}{\gamma}\gamma}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\\
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||||
&= a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\geq 0
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\end{split}
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\end{equation*}
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La productivité marginale du capital dépend du stock de capital par tête, la
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productivité marginale du capital est homogène de degré zéro puisque la fonction
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de production est homogène de degré un. De la même façon, pour la productivité
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marginale du travail, on montre que :
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\[
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F_L(K,L) = (1-a)\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\geq 0
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\]
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#+END_proof
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#+BEGIN_property
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Les productivités marginales sont décroissantes.
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#+END_property
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#+BEGIN_proof
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La productivité du capital est une fonction
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décroissante du stock de capital par tête, $k$ :
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\[
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\frac{\mathrm d F_K}{\mathrm d k} = -a(1-a)(1-\gamma)k^{-\gamma-1}\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}-1}<0
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\]
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pour toute valeur admissible de $\gamma<1$. De la même façon on montre que la
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productivité marginale du travail est toujours une fonction croissante du stock
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de capital par tête. Par ailleurs, le stock de capital par tête est une fonction
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croissante de $K$ et décroissante de $L$. Au total, la productivité marginale du
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capital (respectivement du travail) est une fonction décroissante du capital
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(respectivement du travail).
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#+END_proof
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#+BEGIN_property
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L'élasticité de substitution entre les facteurs est constante.
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#+END_property
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#+BEGIN_proof
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On peut définir l'isoquant de niveau $\bar Y$ comme l'ensemble des couples
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$(L,K)$ tels que $F(K,L)=\bar Y$. Le long d'un isoquant, nous devons donc
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avoir :
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\[
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F_K(K,L)\mathrm dK + F_L(K,L)\mathrm d L = 0
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\]
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\[
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\Leftrightarrow \frac{\mathrm dK}{\mathrm d L} =- \frac{F_L(K,L)}{F_K(K,L)}
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\]
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la pente de l'isoquant de niveau $\bar Y$ en un point $(K,L)$, A.K.A. le TMST
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(au signe près). Dans le cas de la fonction CES, on a :
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\[
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\textrm{TMST}(K,L) = \frac{(1-a)\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}{a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}
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\]
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\[
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||||
\Leftrightarrow \textrm{TMST}(K,L) = \frac{(1-a)}{a} k^{1-\gamma}
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\]
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\[
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||||
\Rightarrow \log \textrm{TMST}(K,L) = \log\frac{(1-a)}{a} +(1-\gamma) \log k
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\]
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\[
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||||
\Rightarrow \frac{\mathrm d \textrm{TMST}}{\textrm{TMST}} = (1-\gamma)\frac{\mathrm d k}{k}
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\]
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\[
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||||
\Leftrightarrow \underbrace{\frac{\frac{\mathrm d k}{k}}{\frac{\mathrm d \textrm{TMST}}{\textrm{TMST}}}}_{\sigma} = \frac{1}{1-\gamma}
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\]
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L'élasticité de substitution entre les facteurs $K$ et $L$, que nous noterons
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$\sigma$, caractérise la courbure de l'isoquant en reliant le taux de variation
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du ratio des facteurs, $k=\frac{K}{L}$, au taux de variation de la pente de
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l'isoquant.
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#+END_proof
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#+BEGIN_property
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L'élasticité de la production par rapport au capital n'est pas constante.
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#+END_property
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#+BEGIN_proof
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L'élasticité de la production par rapport au stock de capital est définie par :
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\[
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\epsilon_{Y/K} = \frac{F_K(K,L)}{\frac{F(K,L)}{K}}
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\]
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le rapport de la productivité marginale et de la productivité moyenne. Nous avons
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exprimé plus haut la productivité marginale en fonction de $k$, nous pouvons faire de
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même pour la productivité moyenne :
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\begin{equation*}
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\begin{split}
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\frac{F(K,L)}{K} &= K^{-\frac{\gamma}{\gamma}}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\
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||||
&= \left(a + (1-a)\left(\frac{L}{K}\right)^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\
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||||
&= \left(a + (1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\
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\end{split}
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\end{equation*}
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Ainsi :
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\[
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\epsilon_{Y/K}(k) = \frac{a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}{\left(a + (1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}}
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||||
\]
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||||
\[
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\Leftrightarrow \epsilon_{Y/K}(k) = \frac{a}{a + (1-a)k^{-\gamma}}
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\]
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#+END_proof
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#+BEGIN_property
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L'élasticité de la production par rapport au capital est une fonction monotone croissante de $k$ si $0<\gamma<1$, monotone décroissante si $\gamma<0$. De plus on a :
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\begin{equation*}
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\lim_{k\rightarrow\infty}\epsilon_{Y/K}(k) =
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\begin{cases}
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1, &\text{ si } 0<\gamma<1\\
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0 &\text{ si } \gamma<0
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\end{cases}
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||||
\end{equation*}
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#+END_property
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Quand $\gamma>0$, c'est-à-dire $\sigma>1$, la fonction de production devient
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asymptotiquement linéaire. Ce qui explique pourquoi, une fois plongée dans le
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modèle de Solow, cette fonction de production génère éventuellement de la
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croissance endogène[fn:1: le modèle génère éventuellement de la croissance
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endogène quand les facteurs sont plus substituables que dans le cas Cobb-Douglas
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(nous avons montré, en cours, que dans ce cas l'élasticité de substitution est
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$\sigma=1$)].
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La fonction de production CES peut être interprétée comme une généralisation de
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la fonction de production Cobb-Douglas. Il suffit de noter que lorsque $\gamma$
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se rapproche de zéro, $\sigma$ tend vers un, le $\mathrm{TMST}$ de la CES
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converge vers le $\mathrm{TMST}$ de la Cobb-Douglas pour tout $k>0$.
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@ -9,8 +9,8 @@
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#+BEGIN_EXPORT html
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<ul style="text-align:center; font-size:1.2rem; list-style-type:none; margin:0; padding:0;">
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||||
{<li style="display: inline;"><a href="../">Home</a></li>,
|
||||
<li style="display: inline;"><a href="../teaching">Enseignement</a></li>,
|
||||
<li style="display: inline;"><a href="../research">Research</a></li>,
|
||||
<li style="display: inline;"><a href="../teaching">Enseignement</a></li>,
|
||||
<li style="display: inline;"><a href="../research">Research</a></li>,
|
||||
<li style="display: inline;"><a href="./"><span style="text-decoration: underline;">Posts</span></a></li>}
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</ul>
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#+END_EXPORT
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@ -27,6 +27,8 @@
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- [[./representer-graphiquement-une-serie-temporelle-du-pib][Représenter graphiquement une série temporelle du PIB]]
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- [[./fonction-de-production-ces][Propriétés de la fonction de production CES]]
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Reference in New Issue