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cd692868d8
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2dce461c8d
GPG Key ID:
295C1FE89E17EB3C
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@ -6,12 +6,13 @@
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#+HTML_HEAD: <script src="../../highlight/highlight.min.js"></script>
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#+HTML_HEAD: <script>hljs.highlightAll();</script>
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#+LANGUAGE: fr
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#+STARTUP: latexpreview
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#+TITLE: Modèle de Solow
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#+DATE: Février 2022
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#+AUTHOR: Stéphane Adjemian
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#+EMAIL: stephane.adjemian@univ-lemans.fr
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#+BEGIN_QUOTE
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#+BEGIN_QUOTE
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Cette note propose une présentation alternative du modèle de Solow. La
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présentation est plus générale que celle vue en cours. Par exemple, la forme de
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la fonction de production de production n'est pas postulée (en cours nous avons,
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@ -23,6 +24,10 @@ l'état stationnaire.
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* La fonction de production
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\[
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Y = F(K, L)
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\]
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Nous savons déjà que les propriétés du modèle de Solow découle pour l'essentiel
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des propriétés de la fonction de production. Nous commençons donc par décrire
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de façon générale la technologie de production. Celle-ci détermine la quantité
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@ -30,10 +35,6 @@ produite de bien homogène à partir des quantités de capital physique et de
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travail. On suppose qu'il existe une fonction continue $F$ de $\mathbb R_+^2$ dans
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$\mathbb R_+$ de classe $\mathcal C^2$ :
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\[
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Y = F(K, L)
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\]
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où $Y$, $K$ et $L$ sont respectivement les quantités de bien, de capital
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physique et de travail.
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@ -84,14 +85,14 @@ Enfin les conditions d'Inada posent des restrictions aux bords sur les
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productivités marginales. On verra plus loin qu'elles sont essentielles pour
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assurer l'existence d'un état stationnaire non trivial (c'est-à-dire positif)
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dans le modèle de Solow.
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Si une fonction de production $F$ vérifie les conditions [[color:red][(N1)]]-[[color:red][(N4)]] alors on peut
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déduire les propriétés suivantes.
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#+BEGIN_property
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Les facteurs de production sont essentiels dans le sens où $F(0,L)=F(K,0)=0$ pour tout $(K,L)\in\mathbb R_+^2$.
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#+END_property
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Cette propriété nous dit qu'il n'est pas possible de produire en l'absence d'un
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des deux facteurs de production. La fonction de production doit donc « passer »
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par l'origine.
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@ -132,7 +133,7 @@ caractérisant les propriétés des fonctions homogènes (le théorème d'Euler)
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Soit $g(x,y)$ une fonction de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ différentiable et homogène de degré $k$ par rapport à $x$ et $y$. Alors on a :
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\[
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||||
k g(x,y) = g_x(x,y)x+g_y(x,y)y
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||||
k g(x,y) = g_x(x,y)x+g_y(x,y)y
|
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\]
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où $g_x$ et $g_y$ sont les dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$. Ces
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@ -156,7 +157,7 @@ g_x(\lambda x, \lambda y)x + g_y(\lambda x,\lambda y)y = k \lambda^{k-1} g(x,y)
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En particulier, pour $\lambda=1$ nous avons donc :
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||||
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\[
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||||
k g(x,y) = g_x(x,y)x+g_y(x,y)y
|
||||
k g(x,y) = g_x(x,y)x+g_y(x,y)y
|
||||
\]
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||||
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||||
Pour montrer que la dérivée partielle $g_x$ est homogène de degré $k-1$ on
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@ -349,7 +350,7 @@ fonction de production $F(K,L)$. On a :
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3. $f''(k)\leq 0$,
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4. $\lim_{k\rightarrow 0}f'(k)=\infty$ et $\lim_{k\rightarrow \infty}f'(k)=0$,
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5. $F_(K,L) = f'(k)$, et
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6. $F_L(K,L) = f(k)-f'(k)k$.
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||||
6. $F_L(K,L) = f(k)-f'(k)k$.
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#+END_property
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#+BEGIN_proof
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@ -435,13 +436,13 @@ considérant la différentielle totale de $\frac{F_K}{F_L}$, il vient :
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où, en appliquant les règles de dérivation bien connues, on a :
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||||
\[
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||||
\frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial K} = \frac{F_{KK}F_L-F_{KL}F_K}{F_L^2}
|
||||
\frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial K} = \frac{F_{KK}F_L-F_{KL}F_K}{F_L^2}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
et
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial L} = \frac{F_{KL}F_L-F_{LL}F_K}{F_L^2}
|
||||
\frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial L} = \frac{F_{KL}F_L-F_{LL}F_K}{F_L^2}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Puisque le long d'un isoquant nous avons $\frac{\mathrm d
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||||
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@ -450,7 +451,7 @@ différentielle totale. Nous avons donc :
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\begin{equation*}
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\begin{split}
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||||
\mathrm d\frac{F_K}{F_L} &=
|
||||
\mathrm d\frac{F_K}{F_L} &=
|
||||
\left(\frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial L} - \frac{\partial \frac{F_K}{F_L}}{\partial K}\frac{F_L}{F_K} \right)\mathrm dL \\
|
||||
&= \left(\frac{F_{KL}F_L-F_{LL}F_K}{F_L^2}F_K - \frac{F_{KK}F_L-F_{KL}F_K}{F_L^2} F_L \right)\frac{\mathrm dL}{F_K} \\
|
||||
&= \frac{F_{KL}F_LF_K-F_{LL}F_K^2-F_{KK}F_L^2+F_{KL}F_KF_L}{F_L^2}\frac{\mathrm dL}{F_K}\\
|
||||
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@ -572,7 +573,9 @@ propriété 6 dans la section précédente, cette répartition est donc sans
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conséquences. Nous ferons abstraction des profits dans la suite.
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||||
Un ménage $m\in[0,1]$ utilise son revenu pour consommer ou investir. Sa
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||||
contrainte budgétaire saturée[fn:2: Dans ce modèle, le comportement du ménage est exogène. ] s'écrit :
|
||||
contrainte budgétaire saturée[fn:2: Dans ce modèle, le comportement du ménage
|
||||
est exogène, la contrainte budgétaire est donc directement écrite sous la forme
|
||||
d'une égalité.] s'écrit :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
C(t,m) + I(t,m) = w(t)L(t,m) + r(t)K(t,m)
|
||||
|
|
@ -583,3 +586,754 @@ ou en termes intensif :
|
|||
\[
|
||||
c(t,m) + i(t,m) = w(t) + r(t)k(t,m)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
où le membre de droite, la somme des revenus du travail et du capital, est le
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||||
revenu réel (c'est-à-dire exprimé en termes d'unités de bien homogène) du
|
||||
ménage. On notera $y(t,m$) le revenu par tête du ménage $m$ à l'instant $t$.
|
||||
Dans une économie fermée ce revenu doit être égal à la production. Sur le membre
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||||
de gauche, le partage entre consommation et investissement est déterminé par la
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||||
règle linéaire suivante :
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\begin{cases}
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||||
c(t,m) &= (1-s)y(t,m)\\
|
||||
i(t,m) &= sy(t,m)
|
||||
\end{cases}
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||||
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||||
Le taux d'épargne $s$ est ici supposé constant dans la coupe des individus et
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||||
dans le temps.
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||||
* Comportement des firmes
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||||
À l'instant $t$, l'économie est peuplée par un continuum de firmes $e\in[0,1]$.
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||||
Les firmes emploient du travail et louent du capital sur des marchés
|
||||
parfaitement concurrentiels, pour produire un même bien homogène, à l'aide d'une
|
||||
technologie commune. Elles vendent la production aux ménages sur un marché
|
||||
parfaitement concurrentiel. On note $K(t, e)$ et L(t,e) les demandes de facteurs
|
||||
(capital et travail) exprimés par la firme $e$ à l'instant $t$. Le profit de la
|
||||
firme $e\in[0,1]$ s'écrit alors :
|
||||
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||||
\[
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||||
\Pi(t,e) = F\left(K(t,e),L(t,e)\right) - w(t)L(t,e) - r(t)K(t,e)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Chaque firme détermine ses demandes de facteurs de façon à maximiser son profit.
|
||||
Si la fonction de production est néoclassique, l'objectif est bien défini et le
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||||
programme de la firme $e$ admet une unique solution intérieure qui doit
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satisfaire :
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\begin{cases}
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||||
F_K(K(t,e),L(t,e)) &= w(t)\\
|
||||
F_L(K(t,e),L(t,e)) &= r(t)
|
||||
\end{cases}
|
||||
|
||||
À l'optimum de la firme $e$ les productivités marginales doivent être identiques
|
||||
aux prix des facteurs. Supposons, par exemple, que la productivité marginale du
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||||
travail soit supérieure au taux de salaire $w(t)$. Dans ce cas, la firme aurait
|
||||
intérêt à exprimer une demande de travail plus élevée, puisque l'augmentation de
|
||||
la quantité rapportera plus que ce qu'elle coûtera. Comme la productivité
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||||
marginale est décroissante par hypothèse, $F_{LL}<0$, l'augmentation de la
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||||
quantité de travail rapprochera la productivité marginale du taux de salaire.
|
||||
Dans l'autre sens, si la productivité marginale du travail est inférieure au
|
||||
taux de salaire, la firme a intérêt à diminuer sa demande de travail. À
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||||
l'optimum de la firme on doit donc avoir égalisation des productivités
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marginales et des prix des facteurs.
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Puisque la fonction de production est néoclassique, nous savons que les
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||||
productivités marginales sont homogènes de degré zéro. Autrement dit, les
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||||
productivités marginales ne dépendent que du ratio $X(t,e) = K(t,e)/L(t,e)$. On a :
|
||||
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||||
\begin{cases}
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||||
F_K(K(t,e),L(t,e)) &= F_K(X(t,e),1)\\
|
||||
F_L(K(t,e),L(t,e)) &= F_L(1,X(t,e)^{-1})
|
||||
\end{cases}
|
||||
|
||||
La productivité marginale du capital est donc décroissante par rapport au ratio
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||||
capital/travail, puisque $F_{KK}<0$, alors que la productivité marginale du
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||||
travail est croissante par rapport au même ratio. Clairement, puisque les mêmes
|
||||
prix, $r(t)$ et $w(t)$, s'imposent aux firmes, le ratio capital/travail doit
|
||||
être unique et indépendant de l'indice $e$ :
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\[
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||||
X(t,e) = X(t)\quad \forall e\in[0,1]
|
||||
\]
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||||
Pour que le programme d'une firme $e\in[0,1]$ ait une solution unique, il faut qu'il
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existe un unique ratio capital/travail $X(t)$ tel que :
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\begin{cases}
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||||
r(t) &= F_K(X(t),1)\\
|
||||
w(t) &= F_L(1,X(t)^{-1})
|
||||
\end{cases}
|
||||
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||||
En exprimant les productivités marginales en termes de technologie intensive, on
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||||
doit donc avoir :
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||||
|
||||
\begin{cases}
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||||
r(t) &= f'(X(t))\\
|
||||
w(t) &= f(X(t))-X(t)f'(X(t))
|
||||
\end{cases}
|
||||
|
||||
ce qui pose implicitement une contrainte sur les prix des facteurs $w(t)$ et
|
||||
$r(t)$ pour qu'ils soient compatibles avec un équilibre compétitif. En inversant
|
||||
la première équation[fn:3: La fonction $f'$ est bijective de $\mathbb R^+$ dans
|
||||
$\mathbb R^+$, puisqu'elle est monotone décroissante, nous sommes donc assurés
|
||||
de l'existence de la fonction réciproque $f'^{-1}$.], c'est-à-dire en exprimant
|
||||
le ratio $X(t)$ comme une fonction de $r(t)$, puis en substituant dans la
|
||||
seconde, on obtient :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
w(t) = f\left(f'^{-1}\left(r(t)\right)\right) - r(t)f'^{-1}\left(r(t)\right) \triangleq \mathcal F\left(r(t)\right)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
La fonction $\mathcal F: \mathbb R^+\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb
|
||||
R^+\setminus\{0\}$ est communément appelée la /frontière des prix des facteurs/.
|
||||
Il s'agit d'une fonction continue et dérivable sur $\mathbb R^+\setminus\{0\}$
|
||||
et on peut montrer qu'elle est monotone décroissante. Sa dérivée est donnée
|
||||
par :
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{split}
|
||||
\mathcal F'(r) & = f'\left(f'^{-1}(r)\right)\left(f'^{-1}(r)\right)'-f'^{-1}(r)-r \left(f'^{-1}(r)\right)'\\
|
||||
& = -f'^{-1}(r)\\
|
||||
& = -X
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Pour que les prix des facteurs soient compatibles avec un équilibre compétitif
|
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(et donc le comportement optimal des firmes) il faut que si le prix du capital
|
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augmente de $\mathrm dr$ alors le prix du travail baisse de $X\mathrm dr$. La
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||||
décroissance de la frontière des prix des facteurs nous dit qu'il n'est pas
|
||||
possible (dans ce modèle /et à technologie inchangée/) d'observer une augmentation
|
||||
simultanée des prix des facteurs. On peut aussi montrer que la frontière des
|
||||
facteurs est une fonction convexe[fn:4: En effet, on a :
|
||||
$\mathcal F''(r) = -\left(f'^{-1}(r)\right)'=-\frac{1}{f''\left(f'^{-1}(r)\right)}>0$ puisque $f''(k)<0$.]
|
||||
et que $\lim_{r\rightarrow 0}\mathcal F(r) = \infty$ et $\lim_{r\rightarrow\infty}\mathcal F(r) = 0$.
|
||||
|
||||
#+begin_src python :session :exports none
|
||||
def production(k, alpha, sigma, A):
|
||||
""" Retourne la production par tête associée au niveau de capital physique par travailleur k, dans le cas
|
||||
d'une fonction de production CES.
|
||||
"""
|
||||
psi = (sigma-1)/sigma
|
||||
if abs(psi)<1e-6:
|
||||
return A*k**alpha
|
||||
else:
|
||||
return A*(alpha*k**psi+1-alpha)**(1/psi)
|
||||
|
||||
def marginalproductivity(k, alpha, sigma, A):
|
||||
""" Retourne la productivité marginale du capital associée au niveau de capital physique par travailleur k, dans le cas
|
||||
d'une fonction de production CES.
|
||||
"""
|
||||
psi = (sigma-1)/sigma
|
||||
if abs(psi)<1e-6:
|
||||
return alpha*A*k**(alpha-1)
|
||||
else:
|
||||
return alpha*A*(alpha+(1-alpha)*k**(-psi))**((1-psi)/psi)
|
||||
|
||||
def fpf(r, alpha, sigma, A):
|
||||
""" Retourne le salaire réel associé au taux d'intérêt r le long de la frontière des prix des facteurs, dans le cas
|
||||
d'une fonction de production CES.
|
||||
"""
|
||||
psi = (sigma-1)/sigma
|
||||
if abs(psi)<1e-6:
|
||||
return (1-alpha)*A*(alpha*A/r)**(alpha/(1-alpha))
|
||||
else:
|
||||
k = (1/(1-alpha))**(-1/psi)*((r/(alpha*A))**(psi/(1-psi))-alpha)**(-1/psi)
|
||||
return production(k, alpha, sigma, A) - k*marginalproductivity(k, alpha, sigma, A)
|
||||
#+end_src
|
||||
|
||||
#+RESULTS:
|
||||
|
||||
La figure [[fig:fpf][1]] montre la frontière des prix des facteurs dans le cas d'une
|
||||
fonction de production de type CES (qui généralement n'est pas une fonction de
|
||||
production néoclassique) pour différentes valeurs de l'élasticité de
|
||||
substitution entre le travail et le capital physique. La courbe rouge correspond
|
||||
au cas Cobb-Douglas, la courbe verte à une CES avec des facteurs plus
|
||||
substituables que dans le cas Cobb-Douglas ($\sigma=1,2$), la courbe bleue à une
|
||||
CES avec des facteurs moins substituables que dans le cas Cobb-Douglas
|
||||
($\sigma=0,8$).
|
||||
|
||||
#+begin_src python :session :exports none
|
||||
import numpy as np
|
||||
import matplotlib.pyplot as plt
|
||||
plt.figure(1)
|
||||
r = np.linspace(0.05, 2, 1000)
|
||||
w = fpf(r, .3, .8, 1.0)
|
||||
plt.plot(r, w, 'b', label=r'$\sigma=0.8$')
|
||||
w = fpf(r, .3, 1.2, 1.0)
|
||||
plt.plot(r, w, 'g', label=r'$\sigma=1.2$')
|
||||
w = fpf(r, .3, 1, 1.0)
|
||||
plt.plot(r, w, 'r', label=r'$\sigma=1$')
|
||||
plt.legend()
|
||||
plt.xlabel("Taux d'intérêt réel (r)")
|
||||
plt.ylabel("Taux de salaire réel (w)")
|
||||
plt.savefig("img/fpf.svg", transparent=True)
|
||||
#+end_src
|
||||
|
||||
#+RESULTS:
|
||||
: None
|
||||
|
||||
Chaque point $(r,w)$ le long d'une frontière est associé à un ratio capital
|
||||
travail $X$ (la valeur absolue de la pente), et à une répartition du revenu
|
||||
entre rémunérations du capital et du travail. Si le taux de salaire est élevé et
|
||||
donc si la rémunération du capital est faible, puisqu'il y a une relation
|
||||
décroissante entre ces deux prix, le ratio capital travail sera élevé car il est
|
||||
alors optimal pour la firme d'employer plus de capital que de travail. D'autant
|
||||
plus qu'il est facile de substituer le travail et le capital, c'est pourquoi la
|
||||
frontière des prix des facteurs est plus d'autant plus élevée que l'élasticité
|
||||
de substitution est importante.
|
||||
|
||||
\\
|
||||
|
||||
#+CAPTION: *Frontière des prix des facteurs avec une fonction CES.*
|
||||
#+LABEL: fig:fpf
|
||||
[[file:img/fpf.svg]]
|
||||
|
||||
On remarque que les conditions d'optimalité de la firme $e$ déterminent le ratio
|
||||
des facteurs de production, mais pas la « taille » de la firme (les niveaux de
|
||||
$L(t,e)$ et $K(t,e)$ ne sont pas déterminés). On note aussi que ces mêmes
|
||||
conditions, via le théorème d'Euler, impliquent :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
r(t)X(t,e)+w(t) = f(X(t,e))
|
||||
\]
|
||||
|
||||
et donc la nullité du profit :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Pi(t,e) =
|
||||
L(t,e)\biggl(f(X(t,e)-r(t)X(t,e)-w(t))\biggr)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
|
||||
* Apurement des marchés
|
||||
|
||||
Le marché du travail est équilibré si et seulement si :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{\int_0^1 L(t,e)\mathrm de}_{\text{Demande de travail}} = \underbrace{e^{nt}\int_0^1\mathrm dm}_{\text{Offre de travail}}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \int_0^1 L(t,e)\mathrm de = L(t)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
c'est-à-dire si la demande de travail des firmes est égale à l'offre de travail des ménages.
|
||||
|
||||
\\
|
||||
|
||||
Le marché du capital est équilibré à l'instant $t$ si et seulement si :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{\int_0^1 K(t,e)\mathrm de}_{\text{Demande de capital}} = \underbrace{e^{nt}\int_0^1k(t,m)\mathrm dm}_{\text{Offre de capital}}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \int_0^1 K(t,e)\mathrm de = K(t)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
où $K(t)$ est le stock de capital agrégé dans l'économie, c'est-à-dire si la
|
||||
demande de capital des firmes est égale à l'offre de capital des ménages.
|
||||
|
||||
|
||||
* Équilibre général
|
||||
|
||||
Nous pouvons maintenant confronter les ménages et les firmes, définir
|
||||
l'équilibre et montrer son existence et unicité. Les ménages se rencontrent sur
|
||||
trois marchés : le marché du travail, le marché du capital et le marché du bien
|
||||
homogène.
|
||||
|
||||
#+BEGIN_definition
|
||||
L'équilibre de l'économie décentralisée est une allocation intertemporelle
|
||||
$\bigl\{\bigl(k(t,m),c(t,m),i(t,m)\bigr)_{m\in[0,1]},
|
||||
\bigl(K(t,e),L(t,e)\bigr)_{e\in[0,1]}\bigr\}_{t\in\mathbb R^+}$ et des
|
||||
trajectoires de prix $\bigl\{w(t),r(t)\bigr\}_{t\in\mathbb R^+}$ telles que :
|
||||
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||||
1. Étant donnés les prix $\bigl\{w(t),r(t)\bigr\}_{t\in\mathbb R^+}$, $\bigl\{k(t,m),c(t,m),i(t,m)\bigr\}_{t\in\mathbb R^+}$ est cohérent avec le comportement des ménages pour tout $m\in[0,1]$.
|
||||
|
||||
2. Étant donnés les prix $\bigl\{w(t),r(t)\bigr\}_{t\in\mathbb R^+}$, $\bigl\{K(t,e),L(t,e)\bigr\}_{t\in\mathbb R^+}$ est cohérent avec le comportement des firmes pour tout $e\in[0,1]$.
|
||||
|
||||
3. Les marchés des facteurs sont apurés à chaque instant.
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||||
#+END_definition
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Notons que dans cette définition il n'y a pas de référence au marché du bien
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homogène (où les ménages achètent le bien produit par les firmes). C'est la loi
|
||||
de Walras : dans une économie composée de $n$ marchés, sil $n-1$ marchés sont
|
||||
apurés, alors le dernier marché ($n$) est nécessairement équilibré (tout
|
||||
simplement parce qu'un excès d'offre ou de demande sur ce marché devrait être
|
||||
compensé par un déséquilibre sur au moins un autre marché, c'est la loi de
|
||||
Walras).
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||||
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\\
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Commençons par caractériser l'équilibre intertemporel. Nous savons, par les
|
||||
conditions d'optimalité de la firme $e\in[0,1]$ que nous devons avoir :
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\[
|
||||
K(t,e) = X(t) L(t,e)\quad\forall e\in[0,1]
|
||||
\]
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||||
|
||||
En sommant sur $e$, on obtient la relation suivante entre la demande agrégée de
|
||||
capital et la demande agrégée de travail :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\int_0^1 K(t,e)\mathrm de = X(t) \int_0^1L(t,e)\mathrm de
|
||||
\]
|
||||
Comme les marchés des facteurs de production doivent être apurés, on doit avoir la relation suivante entre les offres agrégées de capital et de travail :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
K(t) = X(t) L(t)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
c'est-à-dire :
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\[
|
||||
X(t) = k(t)
|
||||
\]
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||||
Le ratio capital-travail des firmes doit être égal au stock de capital par tête
|
||||
dans l'économie. En substituant dans les conditions d'optimalité des firmes, on
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||||
peut écrire les prix des facteurs comme des fonctions du stock de capital par
|
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tête :
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\begin{cases}
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||||
r(t) &= f'(k(t)) \triangleq r(k(t)) \\
|
||||
w(t) &= f(k(t)) - k(t)f'(k(t)) \triangleq w(k(t))
|
||||
\end{cases}
|
||||
|
||||
On remarque que $r'(k) = f''(k)<0$ et $w'(k)=-f''(k)k>0$. Le taux d'intérêt réel
|
||||
est une fonction décroissante du stock de capital par tête, cela reflète
|
||||
l'hypothèse des rendements décroissants. Le salaire réel est une fonction
|
||||
croissante du stock de capital par tête. En notant que $w'(k)$ est aussi égal à
|
||||
la dérivée seconde croisée $F_{KL}(K,L)$, on comprend que la croissance du
|
||||
salaire par rapport à $k$, qui fait aussi écho à la décroissance de la frontière
|
||||
des prix des facteurs, traduit la complémentarité des facteurs (quand la
|
||||
quantité de capital augmente la productivité du travail augmente).
|
||||
|
||||
En sommant sur $m\in[0,1]$ les contraintes budgétaires des ménages, il vient :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\int_0^1 C(t,m)\mathrm dm + \int_0^1 I(t,m)\mathrm dm = r(t)\int_0^1 K(t,m)\mathrm dm + w(t)L(t)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow C(t) + I(t) = r(t)K(t) + w(t)L(t)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
ou en termes intensifs :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
c(t) + i(t) = r(t)k(t) + w(t)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Comme $f(k)=rk+w$ par le théorème d'Euler, on a finalement :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
c(t) + i(t) = f(k(t))
|
||||
\]
|
||||
|
||||
la contrainte de ressource de l'économie.
|
||||
|
||||
En sommant sur $m\in[0,1]$ la règle d'accumulation du stock de capital par tête :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\int_0^1 \dot k(t,m)\mathrm dm = \int_0^1 i(t,m)\mathrm dm - (n+\delta)\int_0^1 k(t,m)\mathrm dm
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \dot k(t) = i(t) - (n+\delta)k(t)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
En agrégeant les décisions des ménages, il vient :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\int_0^1 i(t,m)\mathrm dm = s\int_0^1 y(t,m)\mathrm dm
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow i(t) = s y(t)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
D'où finalement :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\dot k(t) = s f(k(t)) - (n+\delta)k(t)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \dot k(t) = G\left(k(t)\right)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
$G:\mathbb R_+\rightarrow\mathbb R$ est une fonction continue et dérivable sur
|
||||
$\mathbb R_+^\star$, elle passe par zéro, $G(0)=0$, elle est croissante puis
|
||||
décroissante (à partir de $\bar k$ tel que $G'(\bar k)=0$, le niveau de capital
|
||||
par tête tel que la productivité marginale du capital est égale à
|
||||
$\frac{n+\delta}{s}$). Comme la dérivée est bornée sur $\mathbb R_+$, on sait
|
||||
que la fonction $G$ est lipschitzienne, et donc par le théorème de
|
||||
Cauchy-Lipschitz l'équation différentielle admet une unique solution pour une
|
||||
condition initiale donnée. En français : étant donné une dotation initiale
|
||||
$k(0)$ il existe une unique trajectoire pour le stock de capital physique
|
||||
$\left(k(t)\right)_{t\in\mathbb R_+}$. Il existe donc aussi une unique
|
||||
trajectoire pour les autres agrégats (production, consommation et
|
||||
investissement) et pour les prix $w(t)$ et $r(t)$, qui sont des fonctions du
|
||||
stock de capital par tête.
|
||||
|
||||
|
||||
#+BEGIN_proposition
|
||||
Pour toute distribution initiale $\bigl(k(0,m)\bigr)_{m\in[0,1]}$, un équilibre
|
||||
intertemporel existe. L'allocation de la production entre les firmes n'est pas
|
||||
déterminé, mais l'équilibre est unique au regard des agrégats et des allocations
|
||||
des ménages. Le capital par tête est déterminé par une équation différentielle
|
||||
d'ordre un :
|
||||
\[
|
||||
\dot k(t) = G\left(k(t)\right)
|
||||
\]
|
||||
pour tout $t\in\mathbb R_+$ et $k(0) = \int_0^1k(0,m)\mathrm d m$ donné, avec :
|
||||
\[
|
||||
G(k) = sf(k)-(n+\delta)k
|
||||
\]
|
||||
Les prix réels d'équilibre sont donnés par :
|
||||
\[
|
||||
r(t) f'(k(t))
|
||||
\]
|
||||
et
|
||||
\[
|
||||
w(t) = f(k(t)) - k(t)f'(k(t))
|
||||
\]
|
||||
#+END_proposition
|
||||
|
||||
On remarque que la loi d'évolution caractérisant la dynamique d'équilibre du
|
||||
stock de capital par tête est identique à celle vue en cours dans le cas de la
|
||||
version centralisée du modèle (c'est-à-dire sans marchés). Ce n'est pas
|
||||
surprenant, étant donné que l'économie est ici supposée parfaitement
|
||||
concurrentielle (voir les théorèmes du bien être dans le cours de
|
||||
microéconomie).
|
||||
|
||||
La figure [[fig:solow][2]] représente, dans le cas d'une fonction de production Cobb-Douglas,
|
||||
la fonction $G$ et la dynamique dans le plan $(k,\dot k)$. La variation du stock
|
||||
de capital est coissante par rapport à $k$ pour les petites valeurs de $k$ puis
|
||||
monotone décroissante. La fonction $G$ est nulle en 0 et $k^{\star}$. Ces deux
|
||||
points sont des états stationnaires. Le premier est instable et le second semble
|
||||
globalement stable puisque $G>0$ si et seulement si $k < k^{\star}$. Dans la suite
|
||||
nous allons caractériser la dynamique du stock de capital par tête en commençant
|
||||
par montrer l'existence, l'unicité et la stabilité de l'état stationnaire.
|
||||
|
||||
#+begin_src python :session :exports none
|
||||
def getkstar(alpha, sigma, A, s, n, delta):
|
||||
""" Retourne l'état stationnaire du stock de capital par tête, dans le cas d'une fonction de production CES.
|
||||
"""
|
||||
psi = (sigma-1)/sigma
|
||||
if abs(psi)<1e-6:
|
||||
return (A*s/(n+delta))**(1/(1-alpha))
|
||||
else:
|
||||
if ((psi<0) & (s*A*alpha**(1/psi)>(n+delta))) | ((psi>0) & (s*A*alpha**(1/psi)<(n+delta))):
|
||||
return (((1-alpha)*(s*A)**psi)/((n+delta)**psi-alpha*(s*A)**psi))**(1/psi)
|
||||
else:
|
||||
raise NameError("Pas d'état stationnaire non trivial.")
|
||||
|
||||
def getkbar(alpha, sigma, A, s, n, delta):
|
||||
""" Retourne la valeur maximale de \dot{k}, dans le cas d'une fonction de production CES.
|
||||
"""
|
||||
psi = (sigma-1)/sigma
|
||||
if abs(psi)<1e-6:
|
||||
return (alpha*A*s/(n+delta))**(1/(1-alpha))
|
||||
else:
|
||||
return ((1-alpha)**(1/psi))*(s*alpha*A/(n+delta))**(1/(1-psi))
|
||||
|
||||
alpha = 0.30
|
||||
sigma = 1.00
|
||||
delta = 0.02
|
||||
s = 0.20
|
||||
n = 0.02
|
||||
A = 1.00
|
||||
|
||||
kbar = getkbar(alpha, sigma, A, s, n, delta)
|
||||
kstar = getkstar(alpha, sigma, A, s, n, delta)
|
||||
|
||||
kdotatkbar = s*production(kbar, alpha, sigma, A)-(n+delta)*kbar
|
||||
|
||||
with open('img/solow-transition.tex', 'w') as f:
|
||||
f.write("\\documentclass[10pt,tikz]{standalone}\n")
|
||||
f.write("\\usepackage{tikz,pgfplots}\n")
|
||||
f.write("\\usetikzlibrary{patterns, intersections, arrows, decorations.pathreplacing, decorations.markings, calc}\n")
|
||||
f.write("\\pgfplotsset{plot coordinates/math parser=false}\n")
|
||||
f.write("\\begin{document}\n")
|
||||
f.write(" \\begin{tikzpicture}\n")
|
||||
f.write(" \\draw[xscale=.3,->] (0, 0) -- (15, 0) node [right] {{\\footnotesize $k$}}\n")
|
||||
f.write(" [postaction={decorate, decoration={markings,mark=between positions 0.15 and 0.65 step 0.05 with {\\arrow[red]{>};}}}, postaction={decorate, decoration={markings,mark=between positions 0.74 and 0.95 step 0.05 with {\\arrow[red]{<};}}}];\n")
|
||||
f.write(" \\draw[yscale=10,->] (0, -.1) -- (0, 0.2) node [left] {{\\footnotesize $\\dot k$}} ;\n")
|
||||
f.write(" \\draw[xscale=.3,yscale=10,domain=0:14, smooth, variable=\\x, blue, samples=1000] plot ({{\\x}}, {{{0}*\\x^{1}-{2}*\\x}}) node[right] {{{{\\footnotesize $G(k)$}}}};\n".format(s,alpha,n+delta))
|
||||
f.write(" \\draw[dashed,xscale=.3,yscale=10] (0,{0}) -- ({1},{0}) -- ({1},0) node[below] {{{{\\footnotesize $\\bar k$}}}};\n".format(kdotatkbar, kbar))
|
||||
f.write(" \\draw[xscale=.3] ({0},0) node[below]{{{{\\footnotesize $k^{{\\star}}$}}}};\n".format(kstar))
|
||||
f.write(" \\end{tikzpicture}\n")
|
||||
f.write("\\end{document}\n")
|
||||
|
||||
#+end_src
|
||||
|
||||
#+RESULTS:
|
||||
|
||||
#+BEGIN_SRC shell :exports none :results none
|
||||
cd img
|
||||
pdflatex solow-transition
|
||||
pdf2svg solow-transition.pdf solow-transition.svg
|
||||
rm solow-transition.aux solow-transition.log solow-transition.pdf solow-transition.tex
|
||||
cd ..
|
||||
#+END_SRC
|
||||
|
||||
#+CAPTION: *Variations du stock de capital par tête.*
|
||||
#+LABEL: fig:solow
|
||||
#+ATTR_HTML: :width 500px
|
||||
[[file:img/solow-transition.svg]]
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
* État stationnaire
|
||||
|
||||
L'état stationnaire non trivial, $k^{\star}>0$, s'il existe doit être tel que
|
||||
l'investissement par tête est égal à la dépréciation du stock de capital par
|
||||
tête :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
sf(k^{\star}) = (n+\delta)k^{\star}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \frac{f(k^{\star})}{k^{\star}} = \frac{n+\delta}{s}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Notons $\varphi(k)$ la productivité moyenne du capital. Cette fonction de
|
||||
$\mathbb R_+$ dans $\mathbb R_+$, est continue et dérivable sur $\mathbb
|
||||
R_+^{\star}$. Elle est monotone décroissante :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\varphi'(k) = \frac{k f'(k) - f(k)}{k^2} = \frac{f(k)}{k^2}\bigl(\alpha(k)-1\bigr)<0
|
||||
\]
|
||||
|
||||
car l'élasticité de la production par rapport au capital, $\alpha(k)$, est
|
||||
inférieure à un. De plus, par les conditions d'Inada et la règle de l'Hôpital, on a :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\lim_{k\rightarrow 0}\varphi(k) = \infty \quad\text{ et }\quad \lim_{k\rightarrow \infty}\varphi(k) = 0
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Il existe donc un unique $k^{\star}$ tel que l'investissement par tête est égale
|
||||
à dépréciation du stock de capital par tête.
|
||||
|
||||
On peut montrer que cet état stationnaire non trivial est globalement stable.
|
||||
Pour cela on définit une fonction mesurant la distance entre $k(t)$ et
|
||||
$k^{\star}$ : $\zeta(k) = (k-k^{\star})^2$. Par construction, on a
|
||||
$\zeta(k^{\star})=0$ et $\zeta>0$ autrement. On peut aussi montrer que cette
|
||||
distance est monotone décroissante :
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{split}
|
||||
\dot \zeta(k) &= 2 \dot k (k - k^{\star})\\
|
||||
&= 2 (k - k^{\star}) \bigl(sf(k)-(n+\delta)k\bigr)\\
|
||||
&= 2 (k - k^{\star}) \left(\frac{s}{n+\delta}\frac{f(k)}{k}-1\right) (n+\delta)k\\
|
||||
&= 2 (k - k^{\star}) \left(\frac{\varphi(k)}{\varphi(k^{\star})}-1\right) (n+\delta)k\\
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Puisque $\varphi$ est une fonction monotone décroissante, on vérifie que le
|
||||
premier terme $2(k-k^{\star})$ et le deuxième terme,
|
||||
$\varphi(k)/\varphi(k^{\star})-1$, n'ont jamais le même signe. Comme le dernier
|
||||
terme, $(n+\delta)k$ est toujours positif, on peut conclure que la variation de
|
||||
la distance $\zeta$ est strictement négative (elle est nulle seulement si $k=0$
|
||||
ou $k=k^{\star}$). Ainsi, quelle que soit la condition initiale $k(0)>0$, le
|
||||
stock de capital doit converger à long terme vers l'état stationnaire non
|
||||
trivial $k^{\star}$.
|
||||
|
||||
* Caractérisation de la dynamique
|
||||
|
||||
On définit la vitesse de convergence vers l'état stationnaire comme le taux de
|
||||
décroissance du taux de croissance[fn:5: Voir [[https://stephane-adjemian.fr/posts/simulation-du-modele-de-solow/][ici]] pour une définition
|
||||
alternative basée sur la dynamique de la distance à l'état stationnaire plutôt
|
||||
que la dynamique du taux de croissance.]. Dans la suite on s'intéresse à la
|
||||
vitesse de convergence de la production par tête. Sachant que le taux de
|
||||
croissance de la production par tête est égal au taux de croissance du stock de
|
||||
capital par tête multiplié par l'élasticité de la production par rapport au
|
||||
capital, on obtient l'expression suivante du taux de croissance de la production
|
||||
par tête :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
g_y = sf'(k) - (n+\delta)\frac{kf'(k)}{y}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
On sait que ce taux de croissance est positif si et seulement si l'économie est
|
||||
située sous son état stationnaire et que le taux de croissance se rapproche de
|
||||
zéro au fur et à mesure que l'économie se rapproche de l'état stationnaire. La
|
||||
variation du taux de croissance est :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\dot g_y = sf''(k)\dot k - (n+\delta)\frac{\left[f''(k)\dot k k + f'(k)\dot k\right]y - f'(k)k\dot y}{y^2}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \dot g_y = sf''(k)\dot k - (n+\delta)\left[\frac{f''(k)\dot k k}{y} + (1-\alpha(k))\frac{\dot y}{y}\right]
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \dot g_y = -(n+\delta)(1-\alpha(k))g_y + f''(k)\dot k \left[s-(n+\delta)\frac{k}{y}\right]
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \dot g_y = -(n+\delta)(1-\alpha(k))g_y + \frac{f''(k)k}{f'(k)}\frac{f'(k)k}{y}g_k\left[s\frac{y}{k}-(n+\delta)\right]
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \dot g_y = -(n+\delta)(1-\alpha(k))g_y + \frac{f''(k)k}{f'(k)}g_y\left[s\frac{y}{k}-(n+\delta)\right]
|
||||
\]
|
||||
|
||||
soit en utilisant la restriction entre l'élasticité de la production par rapport
|
||||
au capital et l'élasticité de substitution dévoilée à la fin de la première
|
||||
section :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \dot g_y = -(n+\delta)(1-\alpha(k))g_y - \frac{1-\alpha(k)}{\sigma(k)}(n+\delta)g_y\left[\frac{s}{n+\delta}\frac{y}{k}-1\right]
|
||||
\]
|
||||
|
||||
La vitesse de convergence, définie comme l'opposé du ratio de la variation du
|
||||
taux de croissance au taux de croissance, est donc donnée par :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\beta (k) = (n+\delta)(1-\alpha(k))\left[1+\frac{1}{\sigma(k)}\left(\frac{s}{n+\delta}\frac{f(k)}{k}-1\right)\right]
|
||||
\]
|
||||
|
||||
comme une fonction du stock de capital par tête. En utilisant la définition de
|
||||
l'état stationnaire (la productivité moyenne du capital doit être égale à
|
||||
$(n+\delta)/s$), on a encore :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\beta (k) = (n+\delta)(1-\alpha(k))\left[1+\frac{1}{\sigma(k)}\left(\frac{f(k)/f(k^{\star})}{k/k^{\star}}-1\right)\right]
|
||||
\]
|
||||
|
||||
On vérifie facilement que dans le cas Cobb-Douglas, c'est-à-dire avec
|
||||
$\sigma(k)=1$ et $\alpha(k)=\alpha$ pour tout $k$, on obtient :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\beta(k) = (n+\delta)(1-\alpha)\left(\frac{k}{k^{\star}}\right)^{-(1-\alpha)}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Lorsque $k$ converge vers $k^{\star}$, on retrouve la vitesse de convergence que
|
||||
nous obtiendrions en linéarisant le modèle de Solow (voir [[https://stephane-adjemian.fr/posts/simulation-du-modele-de-solow/][ici]]). La vitesse de
|
||||
convergence est monotone décroissante, par rapport au temps, si et seulement si
|
||||
le stock de capital est inférieure à son niveau de long terme, autrement la
|
||||
vitesse de convergence est monotone croissante :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\dot \beta (k) = - \frac{n+\delta}{k^{\star}}(1-\alpha)^2\left(\frac{k}{k^{\star}}\right)^{\alpha-2}\dot k
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Sous l'hypothèse d'une fonction de production Cobb-Douglas, l'observation d'une
|
||||
diminution de la vitesse de convergence dans le temps suggère que la dotation
|
||||
initiale de l'économie est inférieure à sa dotation de long terme (elle est
|
||||
initialement « pauvre »).
|
||||
|
||||
\\
|
||||
|
||||
Dans le cas d'une fonction de production CES, c'est-à-dire avec
|
||||
$\sigma(k)=\sigma$ pour tout $k$, le sens de variation de la vitesse de
|
||||
convergence dépend toujours de la position de la condition initiale, mais aussi
|
||||
du niveau de l'élasticité de substitution entre les facteurs. Supposons qu'il
|
||||
existe un état stationnaire non trivial[fn:6: Cela n'est pas garanti avec une
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fonction de production CES, puisqu'il ne s'agit pas d'une fonction de production
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néoclassique, les conditions d'Inada ne sont pas satisfaites. Pour que cet état
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stationnaire existe, il faut que le taux d'épargne soit assez important lorsque
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les facteurs sont moins substituables que dans le cas Cobb Douglas, ou assez
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faible quand les facteurs sont plus substituables que dans le cas Cobb-Douglas.]
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$k^\star$. La vitesse de convergence est :
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\[
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\beta (k) = (n+\delta)(1-\alpha(k))\left[1+\frac{1}{\sigma}\left(\frac{f(k)/f(k^{\star})}{k/k^{\star}}-1\right)\right]
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\]
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En spécifiant la fonction de production suivante :
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\[
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f(k) = \left(a k^\frac{\sigma-1}{\sigma} + (1-a)\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}
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\]
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avec $a\in[0,1]$, et en notant que l'on peut exprimer la productivité moyenne en
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fonction de l'élasticité de la production par rapport au capital :
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\[
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\frac{f(k)}{k} = a^\frac{\sigma}{\sigma-1}\alpha(k)^\frac{\sigma}{1-\sigma}
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\]
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on peut réécrire la vitesse de convergence de la façon suivante :
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\[
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\beta (k) = (n+\delta)(1-\alpha(k))\left[1+\frac{1}{\sigma}\left(\left(\frac{\alpha(k)}{\alpha(k^\star)}\right)^\frac{\sigma}{1-\sigma}-1\right)\right]
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\]
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Clairement, si $\sigma>1$ alors la vitesse de convergence (quand l'état
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stationnaire existe) est toujours positive et monotone décroissante par rapport à
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$k$[fn:7: En effet, dans ce cas $\beta$ est une fonction monotone décroissante de $\alpha$ et on peut montrer de façon générale que l'élasticité de $y$ par
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rapport à $k$ est croissante si et seulement si l'élasticité de substitution
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entre les facteurs est supérieure à 1:
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\[
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\alpha'(k) = \frac{\left(f'(k)+kf''(k)\right)f(k)-kf'(k)^2}{f(k)^2}
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= \frac{kf''(k)f(k)\left[1-\sigma(k)\right]}{f(k)^2}
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\]
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puisque le rendement marginal du capital est décroissant.]. Dans ce cas, la vitesse
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de convergence diminue le long de la transition si et seulement si l'économie se
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rapproche de l'état stationnaire par dessous (la condition initiale est
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inférieure au niveau de long terme). Si $\sigma<1$, on peut obtenir, pour des
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valeurs élevées de $k$, une vitesse convergence négative !! Car la productivité
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moyenne du capital tend vers 0. Et la vitesse de convergence n'est plus une fonction
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monotone du stock de capital par tête...
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#+BEGIN_SRC python :session :exports none :results none
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def elasticty(k, alpha, sigma, A):
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""" Retourne l'élasticité de la production par rapport au capital en fonction du stock de capital par tête, pour une
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fonction de production CES.
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"""
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psi = (sigma-1)/sigma
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if (abs(psi)<1e-6):
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return alpha
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else:
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return k*marginalproductivity(k, alpha, sigma, A)/production(k, alpha, sigma, A)
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def speed(k, alpha, sigma, A, n, delta, s):
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""" Retourne la vitesse de convergence en fonction du stock de capital par tête, pour une
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fonction de production CES.
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"""
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psi = (sigma-1)/sigma
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if abs(psi)<1e-6:
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return (n+delta)*(1-alpha)*(k/getkstar(alpha, 1.0, A, s, n, delta))**(-(1-alpha))
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else:
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e = elasticty(k, alpha, sigma, A)
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y = production(k, alpha, sigma, A)
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kstar = getkstar(alpha, sigma, A, s, n, delta)
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estar = elasticty(kstar, alpha, sigma, A)
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ystar = production(kstar, alpha, sigma, A)
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# return (n+delta)*(1-e)*(1+(1/sigma)*((e/estar)**(sigma/(1-sigma))-1))
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return (n+delta)*(1-e)*(1+(1/sigma)*(y*kstar/(k*ystar)-1))
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#+end_src
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#+BEGIN_SRC python :session :exports none :results none
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import numpy as np
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sigma = .2
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s = .2
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kstar = getkstar(alpha, sigma, A, s, n, delta)
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kgrid = np.linspace(.1*kstar, 2*kstar, 10000)
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spval = speed(kgrid, alpha, sigma, A, n, delta, s)
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ygrid = production(kgrid, alpha, sigma, A)
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mgrid = marginalproductivity(kgrid, alpha, sigma, A)
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egrid = elasticty(kgrid, alpha, sigma, A)
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ggrid = s*mgrid-(n+delta)*egrid
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ggrid2 = s*ygrid/kgrid-(n+delta)
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agrid = ygrid/kgrid
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fig, ax1 = plt.subplots()
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ax2 = ax1.twinx()
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ax1.plot(kgrid, spval, 'g-')
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ax2.plot(kgrid, egrid, 'b-')
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ax1.set_xlabel('k')
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ax1.set_ylabel('β(k)', color='g')
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ax2.set_ylabel('\varepsilon (k)', color='b')
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fig.show()
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# fig.savefig("img/speed.svg", transparent=True)
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#+END_SRC
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* Footnotes
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