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\title{Variantes en Univers Incertain\thanks{%
Banque de France, DAMEP, 31 rue Croix des Petits Champs, 75049 Paris Cedex, France.
Correspondant: \texttt{christophe.cahn@banque-france.fr}. Cette étude s'inscrit dans le cadre d'un
programme de travail développé à la Banque de France. Nous remercions Gilbert Cette, Olivier de
Bandt et Jean-Pierre Villetelle pour leurs commentaires sur une version antérieure, Jean Pierre
Laffargue et un rapporteur anonyme. Les opinions exprimées ici n'engagent que les auteurs, et pas
les institutions auxquelles ils sont affiliés.}}
\author{
\begin{tabular}{cc}
Stéphane Adjemian & Christophe Cahn \\
{\small \textit{Université du Maine, GAINS et CEPREMAP}} & {\small \textit{Banque de France, DAMEP}} \\
\rule{0.em}{1.em} & \\
Antoine Devulder & Nicolas Maggiar \\
{\small \textit{Banque de France, DAMEP}}  & {\small \textit{Banque de France, DAMEP}} 
\end{tabular}}

\topmargin 1cm
\begin{document}
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\date{\today\\
\begin{center}
Version préliminaire -- commentaires bienvenus
\end{center}}

\maketitle

\begin{abstract} Nous proposons d'illustrer l'intérêt de l'approche bayésienne dans le cadre de
l'évaluation des politiques économiques, réalisée le plus souvent à l'aide de variantes. Nous
présentons un modèle d'équilibre général stochastique dynamique (DSGE) pour la zone euro.
L'estimation bayésienne de ce modèle mesure l'incertitude sur les paramètres, qui se traduit
en une incertitude sur les variantes. Nous donnons une application pratique en simulant les effets
d'une politique fiscale (choc de TVA annoncé). 
\end{abstract}

\vspace{1cm}

\begin{quote}
\noindent\textbf{Mots-clés:} DSGE, zone euro, rigidités nominales, estimation
bayesienne.\\ \noindent\textbf{Classification JEL:} E4, E5.
\end{quote}

\vspace{1cm}

\fontsize{1em}{1.8em} \selectfont


\section{Introduction}\label{sec:1}

Les modèles d'équilibre général intertemporels stochastiques (MEGIS, ou DSGE
en anglais) se sont progressivement imposés comme des outils de la modélisation
macroéconomique. Initialement développés dans le monde académique, leur utilisation s'est
plus récemment étendue aux institutions en charge de la politique économique, suite aux travaux de
\citet{SW03}. Ces modèles présentent des avantages par rapport aux modèles
macroéconométriques utilisés habituellement dans ces institutions\footnote{Voir, par exemple, le
modèle MASCOTTE, \citet{MASC}.}, parmis lesquels deux nous paraissent majeurs.
D'une part, leur construction repose sur un cadre théorique cohérent fondé sur des
comportements optimisateurs des agents, ce qui n'est pas le cas des modèles économétriques.
D'autre part, tournés vers le passé, ces modèles macroéconométriques ne permettent pas de tenir
compte de l'impact des anticipations des agents sur l'économie, et sont la cible de
la critique de \citet{LU76}\footnote{Voir \citet{FE05} pour une discussion des différentes méthodologies.}. 
Néanmois, les modèles d'équilibre général restent beaucoup trop stylisés pour pouvoir s'adapter au 
cadre comptable désagrégé généralement exploité dans le discours institutionnel.\newline

\noindent Comme la prise en compte des anticipations est indispensable dans la modélisation de
variantes relatives à des chocs futurs annoncés, nous utilisons dans cet article un modèle
d'équilibre général intertemporel pour analyser les effets d'une modification permanente et annoncée
d'une politique fiscale future. \`A titre d'illustration, nous nous intéressons aux effets d'une
politique consistant à augmenter le taux de TVA dans la zone euro \textit{ceteris paribus}.\newline

\noindent Comme nous ne connaissons pas de façon certaine le modèle qui génère les données (DGP,
pour \textit{data generating process}), il convient de rendre compte de l'incertitude sur les
résultats obtenus, en raisonnant en termes de fourchette. L'incertitude sur le DGP peut porter sur
la spécification d'un modèle paramétré et sur la valeur de ses paramètres. Dans la suite, nous
allons fixer la forme du modèle, puis nous caractériserons l'incertitude sur le DGP à l'aide d'une
densité jointe sur les paramètres du modèle. Nous projetterons alors cette
incertitude dans l'espace des variantes.\newline 

\noindent La démarche poursuivie dans ce papier procède en trois étapes. Dans un premier temps, nous
posons un modèle DSGE en économie fermée sur la zone euro. Nous suivons 
\citet{SW03}, le modèle contient un certain nombre de rigidités nominales, sur les prix et les
salaires, ainsi que réelles, avec coût d'ajustement sur l'investissement et l'utilisation du
capital. La deuxième étape consiste à caractériser l'incertitude relative au modèle en construisant
la densité jointe de ses paramètres~; c'est pourquoi nous adoptons une approche
bayésienne. Le modèle définit la densité jointe d'un ensemble de variables (inflation,
salaire réel, \textit{et cetera}) conditionnellement aux paramètres~; la méthode bayésienne
permet d'inverser celle-ci et de mettre à jour nos croyances \textit{a priori} sur le DGP pour
construire la densité jointe des paramètres conditionnellement aux données (la densité \textit{a
posteriori}). Dans la dernière étape, on traduit la densité postérieure des paramètres en une
incertitude sur les variantes.\newline

\noindent L'exercice de variante est basé sur une version déterministe du modèle DSGE (\textit{ie}
les variances des chocs stochastiques sont nulles). Le modèle DSGE n'est indispensable que dans la
deuxième étape, pour écrire la fonction de vraisemblance associée au modèle théorique et
caractériser l'incertitude sur les paramètres structurels. Le choix du modèle est évidemment
discutable. Nous prenons le parti de rester le plus proche possible du modèle considéré
par \citet{SW03}. Ce choix est motivé par le relativement bon comportement du modèle lorsqu'il
est confronté aux données\footnote{Par exemple, les deux auteurs montrent
que la qualité d'ajustement de ce modèle est comparable à celle d'un modèle VAR (\textit{ie} un
modèle qui n'exploite aucune contrainte théorique).} et par le fait qu'il se soit
imposé dans le monde instutitionnel comme un modèle cannonique.\newline

\noindent La suite de l'article se présente de la manière suivante ; la section 2 décrit les
équations du modèle, puis nous présentons les résultats de l'estimation dans la
section 3. Un exercice de variante est discuté dans la section 4. La section 5 conclut.

\section{Description du modèle}\label{sec:2}

Le modèle choisi dans ce papier considère la zone euro comme une économie fermée. Par de nombreux
aspects, il se rapproche du modèle développé par \citet{SW03}: rigidités nominales à la \citet{CA83}
sur la formation des prix et des salaires, rigidités réelles telles que des coûts d'ajustement sur
le capital et sur le niveau d'utilisation des capacités de production, ainsi que des formations
d'habitudes sur la consommation. De plus, nous ajoutons des chocs fiscaux au modèle original afin de
tenir compte des effets de modifications des prélèvements obligatoires.

\subsection{Les ménages}

Nous considérons un continuum de ménages $m\in[0,1]$, chacun offrant un travail différencié.
L'utilité instantanée de la consommation de chaque ménage dépend positivement de la consommation
$C_{t}^{m}$ relativement à une variable d'habitude externe $H_t^{m}$:
$U_{t}^{m}=(C_{t}^{m}-H_{t}^{m})^{1-\sigma_{c}}/(1-\sigma_{c})$,
où $\sigma_c$ correspond à l'élasticité intertemporelle de substitution de la consommation. On
suppose que la variable d'habitude externe est proportionnelle à la consommation agrégée passée:
$H_t^{m} = hC_{t-1}^{m}$. La désutilité instantanée du travail de chaque ménage dépend
positivement du travail $l^m_t$: $V_{t}^{m}=\varepsilon_{t}^{L}(l_{t}^{m}
)^{1+\sigma_{l}}/(1+\sigma_{l})$ où $\sigma_l$ correspond à l'élasticité de l'effort de travail et
$\varepsilon_{t}^{L}$ représente un choc d'offre de travail dont le logarithme suit un processus
AR(1). Chaque ménage $m$ maximise une fonction d'utilité intertemporelle
$\mathcal{U}_{t}^{m}=\mathbb{E}_{t}\sum_{j=0}^{\infty}\beta^j\varepsilon_{t+j}^B \left(U_{t+j}^{m} -
V_{t+j}^{m}\right)$, avec $\varepsilon_{t}^B$ un choc de préférence dont le logarithme suit un AR(1)
et $\beta$ le facteur d'escompte social.\newline

\noindent Le revenu total des ménages est la somme des revenus salariaux augmentés des flux nets
issus de la détention de titres contingents\footnote{%
L'hypothèse de la détention de titres contingents implique que les ménages sont assurés contre les
variations de leur revenus différentiés du travail de telle sorte que les choix intertemporels des
ménages sont identiques, tout en gardant des salaires différenciés \citep{CEE05}.}  $(A_t^m)$,
 des revenus du capital détenu diminués du coût $\psi(z_t)$ lié aux variations du taux d'utilisation
des capacités de production\footnote{On suppose qu'à l'état stationnaire, la fonction $\psi(\cdot)$
vérifie $\psi(\bar{z})=0$, où $\bar{z}$ est la valeur à l'équilibre du taux d'utilisation des
capacités de production. De plus, on suppose $\psi''(\bar{z})\neq 0$ et on pose $\Psi =
\psi'(\bar{z})/\psi''(\bar{z})$.} $(z_t)$, des dividendes versés par les firmes du secteur
intermédiaire en concurrence imparfaite, et des transferts nets du gouvernement $\Omega_t$. De plus,
le revenu des ménages est soumis à deux taxes, portant sur les revenus du travail ($\tau_t^W$) et du
capital ($\tau_t^K$)\footnote{Les deux variables $\tau_t^W$ et $\tau_t^K$ sont inférieures à un et 
représentent les parts disponibles des revenus salarial et financier (en dehors du coût lié aux 
variations du taux d'utilisation du capital).}. Les revenus du ménage $m$ 
s'écrivent alors:
$$
    Y_t=(\tau_t^W w_t^m l_t^m+ A_t^m)+(\tau_t^K r_t^K z_t K_{t-1}-\psi(z_t) K_{t-1}) + Div_t
    +\Omega_t
$$
Les ménages maximisent leur fonction objectif sous la contrainte budgétaire intertemporelle donnée
par: $B_{t}/(R_t P_{t}) \leq B_{t-1}/P_{t} +Y_{t}-\tau_t^C C_{t}-I_{t}$. Ils détiennent leur
richesse sous forme de titres $B_t$ et de capital. Le revenu et la richesse des
ménages peuvent être utilisés pour la consommation et l'investissement en capital physique, dont la
loi d'évolution s'écrit:
\begin{equation}\label{equ:1}
K_{t}=(1-\delta)K_{t-1}+\left[1-S\left(\varepsilon^{I}_{t}\frac{I_{t}}{I_{t-1}}\right)\right]I_{t}
\end{equation}
où $\varepsilon^{I}_{t}$ est un choc déformant le coût d'ajustement $S( \cdot )$, fonction qui
vérifie $S(1)=S'(1)=0$, et $\delta \in ]0,1[$ le taux de dépréciation. Les titres sont détenus sur
une période et sont rémunérés au facteur d'intérêt nominal  $R_t$. Par ailleurs, un facteur de taxe
$\tau_t^C$ est appliqué à la consommation.

\subsubsection{Comportements d'épargne et de consommation}

La maximisation de la fonction objectif des ménages sous la contrainte budgétaire par rapport à la consommation et la détention d'actifs fournit les conditions d'optimalité suivantes:
\begin{equation*}\label{equ:2}
\mathbb{E}_{t}\left\{\beta R_{t}\frac{\lambda_{t+1}P_{t}}{\lambda_{t}P_{t+1}}\right\}=1
\end{equation*}
où $\lambda_t$ correspond à l'utilité marginale de la consommation, donnée par:
\begin{equation*}\label{equ:3}
\lambda_{t}=\frac{\varepsilon_{t}^B}{\tau_t^C}\left(C_{t}-H_{t}\right)^{-\sigma_{c}}
\end{equation*}
La combinaison de ces deux équations donne la condition de premier ordre usuelle pour la croissance
de la consommation, tenant compte de l'existence de la formation d'habitudes externes. En notant
$\pi_{t}=P_{t}/P_{t-1}$, l'arbitrage intertemporel est résumé par~:
\begin{equation}\label{equ:4}
\frac{\varepsilon_{t}^{B}}{\tau_{t}^C}\left(C_{t}-hC_{t-1}\right)^{-\sigma_{c}}
=\mathbb{E}_{t}\left\{\beta \frac{\varepsilon_{t+1}^{B}}{\tau_{t+1}^C}
\left(C_{t+1}-hC_{t}\right)^{-\sigma_{c}}
\frac{R_{t}}{\pi_{t+1}}\right\}
\end{equation}

\subsubsection{Investissement et accumulation du capital}

Les ménages détiennent le stock de capital qu'ils louent aux firmes du secteur intermédiaire au taux
$r^K_t$. Une augmentation de l'offre de services de capital peut provenir soit de l'investissement,
utilisable la période suivante, soit de l'augmentation du taux d'utilisation du capital déjà
installé; chacune de ces deux opérations génère un coût, pris en compte par les fonctions $S(\cdot)$
et $\psi(\cdot)$.\newline

\noindent En notant le prix relatif du capital $Q_t=\mu_t/\lambda_t$, où $\mu_t$ est le prix
implicite d'une unité de capital, les conditions d'optimalité par rapport au choix sur le niveau de
capital, de l'investissement et du taux d'utilisation des capacités donnent les
relations suivantes:
\begin{equation}\label{Invest01}
Q_{t}=\mathbb{E}_{t} \left\{ \beta\frac{\lambda_{t+1}}{\lambda_{t}}
\left[\tau_{t+1}^K r_{t+1}^{K}z_{t+1}-\psi(z_{t+1})
+Q_{t+1}(1-\delta)\right]\right\}
\end{equation}

\begin{equation}
Q_{t}\left[\left(1-S\left(\frac{\varepsilon^{I}_{t}I_{t}}{I_{t-1}}\right)
-\frac{\varepsilon^{I}_{t}I_{t}}{I_{t-1}}S^{'}\left(\frac{\varepsilon^{I}_{t}I_{t}}{I_{t-1}}\right)\right)
\right]
+\mathbb{E}_{t} \left\{\beta Q_{t+1}\frac{\lambda_{t+1}}{\lambda_{t}}\varepsilon^{I}_{t+1}\left(\frac{I_{t+1}}{I_{t}}\right)^2
S^{'}\left(\varepsilon^{I}_{t+1}\frac{I_{t+1}}{I_{t}}\right)\right\}
=1
\end{equation}

\begin{equation} \label{cnoz}
\tau_t^K r_{t}^K=\psi^{'}(z_{t})
\end{equation}

\subsubsection{Offre de travail}

Les ménages offrant un travail différencié, ils conservent un pouvoir de marché sur la détermination
de leur salaire. Nous supposons l'existence d'une agence qui propose une offre de travail agrégée
$L_t$, obtenue par la combinaison de l'offre de travail de chaque ménage selon une fonction de type
Dixit-Stiglitz~:
$
L_{t}=\left(\int_{0}^{1}(l_{t}^m)^{\frac{\nu-1}{\nu}}\mathrm{d}m\right)^{\frac{\nu}{\nu-1}}
$
où $\nu$ se définit comme l'elasticité de l'effort de travail au salaire. L'agence d'emploi maximise
son profit, étant donnés les salaires nominaux différenciés des ménages $P_tw_t^m$ et l'offre de
salaire nominal agrégée $P_tw_t$\footnote{On note en minuscule le salaire réel et en majuscule le
salaire nominal.}. Il en résulte la fonction de demande suivante~:
\begin{equation}\label{wage01}
l_{t}^m=\left( \frac{w_{t}^m}{w_{t}}\right)^{-\nu}L_t
\end{equation}
En utilisant la condition de profit nul à l'optimum, nous obtenons la définition du salaire nominal
agrégé~:
$
W_{t}=\left(\int_{0}^{1}(W_{t}^m)^{1-\nu}\mathrm{d}m\right)^{\frac{1}{1-\nu}}
$. 
Néanmoins, comme \citet{EHL00}, nous supposons que les ménages ne peuvent pas optimiser leur salaire
à chaque date. Avec la probabilité $\xi_w$, le ménage $m$ ne peut pas ajuster son salaire de manière
optimale. Le salaire nominal suit alors l'évolution suivante: $W_{t}^m=\bar{\pi}_t^{\gamma_{w}}
\pi_{t-1}^{1-\gamma_{w}}W_{t-1}^m$, \textit{ie} la variation du salaire instantanée d'un ménage
qui n'a pas eu l'opportunité de choisir le niveau optimal est indexée sur une combinaison convexe de
l'inflation passée $\pi_{t-1}$ et de la cible d'inflation, éventuellement variable, de la
banque centrale $\bar{\pi}_t$. Avec la probabilité $1-\xi_w$, le ménage $m$
a la possibilité de choisir son niveau optimal de salaire $\tilde{W}_t^m$.\newline

\noindent Les conditions d'optimalité issues de la maximisation de la fonction objectif du ménage
$m$ par rapport au choix du salaire optimal, en tenant compte des chocs idiosyncratiques qu'il
subit, donnent les relations suivantes:
\begin{equation}\label{wage06}
\pi_{t}\tilde{w}^{m}_{t}=\frac{\nu}{1-\nu}\frac{\mathcal{H}_{1,t}}{\mathcal{H}_{2,t}}
\end{equation}
avec $\mathcal{H}_{1,t}$ et $\mathcal{H}_{2,t}$, deux fonctions vérifiant les récurrences:
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}_{1,t}&=&\varepsilon_t^B V^{m'}_{t}l_{t}^{m}+\beta \xi_{w} \mathbb{E}_{t}
\left\{\mathcal{H}_{1,t+1}\right\}\\
\mathcal{H}_{2,t}&=&\frac{\varepsilon_t^B U^{m'}_{t}\tau_{t}^{W}
l_{t}^{m}}{\tau_{t}^{C}\pi_{t}}+\beta \xi_{w}
\bar{\pi}_{t+1}^{\gamma_{w}}\pi_{t}^{-\gamma_{w}}\mathbb{E}_{t} \left\{\mathcal{H}_{2,t+1}\right\}
\end{eqnarray}
$U^{m'}_{t}$ et $V^{m'}$ étant respectivement l'utilité marginale de la consommation et la désultilité marginale du travail, définis par:
\begin{eqnarray}
V^{m'}_{t}&=&\varepsilon_t^L (l_t^m)^{\sigma_l}\\
U^{m'}_{t}&=& (C_t-hC_{t-1})^{-\sigma_c}
\end{eqnarray}
Enfin, la distinction entre les ménages qui ont la possibilité d'optimiser leur salaire et ceux qui
ne l'ont pas amène à réécrire la définition du salaire agrégé:
\begin{equation}\label{wage09}
w_{t}^{1-\nu}=(1-\xi_{w})\tilde{w}_{t}^{1-\nu}+\xi_{w}\left(
\frac{\bar{\pi}_{t}^{\gamma_{w}}\pi_{t-1}^{1-\gamma_{w}}}{\pi_{t}}w_{t-1}\right)^{1-\nu}
\end{equation}

\subsection{Les firmes et la fixation des prix}

\subsubsection{Secteur du bien final}

Le secteur du bien final est caractérisé par une firme représentative qui agrège la production d'un
continuum de firmes intermédiaires $f\in [0,1]$. Ces firmes produisent chacune un bien différencié
$y_t^f$ et sont en concurrence monopolistique. La fonction d'agrégation de type Dixit-Stiglitz est
définie par:
$ Y_t=\left(\int_0^1(y_t^f)^{\frac{\epsilon-1}{\epsilon}}\mathrm{d}f\right)^{\frac{\epsilon}{\epsilon -1}}
$ où $\epsilon$ est l'élasticité prix de la demande. Cette firme représentative maximise son profit
étant donné le prix des biens intermédiaires $P_t^f$ et le prix du bien final $P_t$. Il résulte de
ce comportement les fonctions de demande suivantes pour les biens intermédiaires : $y_t^f =
(P_t^f/P_t)^{-\epsilon}Y_t$. La définition du prix du bien final s'obtient alors en utilisant la
condition de profit nul à l'optimum et donne~:  
$P_t = \left(\int_0^1(P_t^f)^{1-\epsilon}\mathrm{d}f\right)^{\frac{1}{1-\epsilon}}$.

\subsubsection{Secteur des biens intermédiaires}

Nous supposons que la technologie de production de toutes les firmes du secteur des biens intermédiaires 
est identique et peut être représentée par une fonction de type Cobb-Douglas:
$  y_t^f = \varepsilon_t^a(\widetilde{K}_t^f)^{\alpha}(L_t^f)^{1-\alpha}-\Phi $
où $\tilde{K}_t^f$ est le capital utilisé défini par:
\begin{equation}
\tilde{K}_t^f = z_t K_t^f,
\end{equation}
$\varepsilon_t^a$ est un choc de productivité, et $\Phi>0$ représente un coût fixe tel que le profit d'une firme intermédiaire est nul dans le long terme\footnote{%
Ce coût fixe s'écrit alors $\Phi = \frac{\bar{Y}}{\epsilon-1}$, où $\bar{Y}$ est la valeur de la
production à l'état stationnaire.}.\newline 

\noindent En supposant que les marchés de facteurs de production sont parfaitement concurrentiels,
une firme $f \in [0,1]$ cherche à minimiser ses coûts sous sa contrainte technologique. La
résolution de son programme donne la relation suivante~:
\begin{equation} \label{fpf}
\frac{\tau^l_t w_t L_t^f}{\tau^r_tr_t^K\widetilde{K}_t^f}=\frac{1-\alpha}{\alpha} ~~,~\forall f \in [0,1]
\end{equation}
où $\tau_t^i$, $i\in \{l,r\}$, sont deux facteurs de taxes sur les coûts du travail et du capital. Les décisions 
sur la combinaison optimale des facteurs de production sont alors identiques entre les firmes intermédiaires.
Après réarrangement de ces équations, on peut donner l'expression du coût marginal réel des firmes intermédiaires:
\begin{equation}\label{Phillips05bis}
mc_t =
\frac{\left(\tau^r_tr_t^K\right)^{\alpha}\left(\tau^l_tw_t\right)^{1-\alpha}}{\varepsilon_{t}^a\alpha^{\alpha}(1-\alpha)^{1-\alpha}}
\end{equation}
Le coût marginal réel, qui apparaîtra dans la courbe de Phillips, augmente avec les impôts et
diminue avec un choc de productivité. On peut noter aussi qu'il ne dépend pas de $f$.\newline

\noindent Le profit nominal de la firme $f$ à la date $t$ s'écrit:
$ \Pi_t^f =
(\tau^y_tP_t^f-P_tmc_t)(P_t^f/P_t)^{-\epsilon}Y_t-P_tmc_t\Phi
$,
où $\tau^y_t$ est un choc fiscal sur le revenu de la firme qui affecte son taux de marge. Les firmes
n'ont pas la possibilité de fixer leur prix de manière optimale à chaque date. Avec la probabilité
$\xi_p$, la firme $f$ ne peut pas réoptimiser son prix; celui ci suit alors la règle d'évolution~:
$
P_t^f =\bar{\pi}_t^{\gamma_p}\pi_{t-1}^{1-\gamma_p}P_{t-1}^f
$,
\textit{i.e} le prix d'une firme qui n'a pas l'opportunité de le fixer à son niveau optimal, est le
résultat d'une combinaison convexe entre l'inflation totale passée et la cible d'inflation de la
banque centrale. Le temps moyen pendant lequel une firme ne peut pas optimiser son prix est
$1/(1-\xi_p)$. Avec la probabilité $1-\xi_p$, la firme $f$ peut choisir le prix optimal
$\tilde{P}_t^f$. Posons $p_t\equiv \tilde{P}_t^f/P_t$ le prix relatif de la firme $f$. Le programme
d'optimisation des firmes intermédiaires étant tourné vers le futur, le prix relatif ne
dépend pas de $f$. Les conditions du premier ordre définissent alors le système suivant:
\begin{equation}\label{Phillips13}
\frac{\pi_t}{\bar{\pi}_t^{\gamma_p}\pi_{t-1}^{1-\gamma_p}}p_t =
\frac{\epsilon}{\epsilon-1}\frac{\mathcal Q_{1,t}}{\mathcal Q_{2,t}}
\end{equation}
avec
\begin{eqnarray}
\mathcal{Q}_{1,t} &=&
\pi_t^{\epsilon}\bar{\pi}_t^{-\epsilon\gamma_p}\pi_{t-1}^{-(1-\gamma_p)\epsilon}\lambda_tY_tmc_t
+
\beta\xi_p\pi_t^{\epsilon}\pi_{t-1}^{-(1-\gamma_p)\epsilon}\bar{\pi}_t^{-\gamma_p\epsilon}\mathbb
E_t\left[\mathcal Q_{1,t+1}\right]\label{Phillips14}\\
\mathcal{Q}_{2,t} &=&
\pi_t^{\epsilon-1}\bar{\pi}_t^{\gamma_p(1-\epsilon)}\pi_{t-1}^{(1-\gamma_p)(1-\epsilon)}\lambda_t\tau^y_tY_t
+
\beta\xi_p\pi_t^{\epsilon-1}\pi_{t-1}^{(1-\gamma_p)(1-\epsilon)}\bar{\pi}_t^{\gamma_p(1-\epsilon)}\mathbb
E_t\left[\mathcal Q_{2,t+1}\right]\label{Phillips15}
\end{eqnarray}
Pour compléter cette analyse, nous tenons compte dans l'expression du prix agrégé de l'hétérogénéité des firmes intermédiaires, ce qui donne:
\begin{equation}\label{Phillips16}
\left\{(1-\xi_p)p_t^{1-\epsilon}+\xi_p\left[\bar{\pi}_t^{\gamma_p}\frac{\pi_{t-1}^{1-\gamma_p}}{
\pi_t }\right]^{1-\epsilon}\right\}^{\frac{1}{1-\epsilon}}=1
\end{equation}
Les équations (\ref{Phillips05bis}) et (\ref{Phillips13})--(\ref{Phillips16}) décrivent complétement la dynamique des prix dans ce modèle, étant donnés les salaires et taux d'intérêt réels.

\subsubsection{Distorsion de prix et agrégation}

Nous devons vérifier que malgré l'hétérogénéité des prix et salaires induite par les rigidités à la
\citet{CA83}, nous sommes capables de définir une économie agrégée. \`A partir de la frontière des
prix de facteurs, nous savons que le rapport entre facteurs de production doit être constant entre
les firmes
$f\in [0,1]$. En conséquence, en définissant $\widetilde{K}(t) =
\int_0^1\widetilde{K}_t^f\mathrm{d}f$ et $L(t) = \int_0^1L_t^f\mathrm{d}f$ le stock de capital
utilisé agrégé et le travail agrégé, nous avons~:
\begin{equation}\label{FPF}
\frac{\widetilde{K}_t}{L_t} = \frac{\alpha}{1-\alpha}
\frac{\tau^l_tw_t}{\tau^r_tr_t^K} =
\frac{\widetilde{K}_t^f}{L_t^f}
\end{equation}
En exprimant  $L_t^f$ comme une fonction de $\widetilde{K}_t^f$ dans la définition de la technologie
des firmes intermédiaires, nous obtenons~: $
y_t^f =
\varepsilon_t^a(L_t/\widetilde{K}_t)^{1-\alpha}\widetilde{K}_t^f-\Phi
$.
En intégrant cette expression par rapport à  $f$ sur $[0,1]$, nous obtenons une expression pour la
production agrégée : $y_t = \int_0^1 y_t^f\mathrm{d}f = \varepsilon_t^a
\widetilde{K}_t^{\alpha}L_t^{1-\alpha}-\Phi$
qui est a priori différente de $Y_t$ définie comme un agrégat Dixit-Stiglitz, impliquant une élasticité de substitution entre les biens intermédiaires. \`A l'aide des équations de demande adressée à chaque firme intermédiaire, nous avons : $\int_0^1 y_t^f\mathrm{d}f = Y_t\int_0^1 ( P_t^f/P_t)^{-\epsilon}\mathrm{d}f  = D_{p,t}Y_t$, où $D_{p,t} = \int_0^1(P_t^f/P_t)^{-\epsilon}\mathrm{d}f$ mesure la distorsion de prix telle que:
\begin{equation}\label{Dist02}
D_{p,t}Y_t = \varepsilon_t^a
\widetilde{K}_t^{\alpha}L_t^{1-\alpha}-\Phi
\end{equation}
Il est nécessaire d'obtenir une forme récursive de cette distorsion afin de simuler le modèle non
linéaire\footnote{Avec une approximation de Taylor à l'ordre 1 autour de l'état stationnaire
déterministe, cette distorsion disparaît.}. Nous avons donc à partir de la définition de $D_{p,t}$~:
\begin{equation}
D_{p,t} = (1-\xi_p)p_t^{-\epsilon} +
\xi_p\left(\frac{\bar{\pi}_t^{\gamma_p}\pi_{t-1}^{1-\gamma_p}}{\pi_{t-1}}\right)^{-\epsilon}D_{p,t-1}
\end{equation}
\`A l'état stationnaire déterministe, nous avons $D_{p,t}=1$, \textit{ie} il n'y a plus de
distorsion de prix dans le long terme.

\subsection{\'Equilibre ressource-emploi et bouclage du modèle}

Le budget de l'État étant équilibré à chaque date par les transferts aux ménages,
$\Omega_t$, la production est égale à la demande en consommation et investissement, augmentée du
coût d'ajustement du capital et des dépenses publiques~:
\begin{equation} \label{eqmarchebien}
Y_t = C_t + I_t + \psi(z_t)K_{t-1} + G_t
\end{equation}
où les dépenses publiques $G_t$ suivent un processus AR(1):
\begin{equation}
\log G_t = (1-\rho_G) \log \bar{G} +\rho_G \log G_{t-1} +\nu_t^G
~~,~ \nu_t^G \sim \mathcal{N}(0,\sigma_G)
\end{equation}

\noindent Pour boucler le modèle nous considérons une régle de Taylor. L'autorité monétaire
détermine une cible d'inflation\footnote{Le paramètre $\bar{\pi}$ représente le facteur d'inflation
cible à long terme.} 
\begin{equation}
    \log\bar{\pi}_t = \rho_{\pi} \log\bar{\pi}_{t-1}+ (1-\rho_{\pi}) \log\bar{\pi} + \nu_t^{\pi},
\end{equation}
puis contôle le taux d'intérêt nominal en réagissant (\textit{i}) aux déviations de l'inflation à sa
cible, (\textit{ii}) à l'écart de production défini comme la différence entre la production
effective et celle obtenue en absence de rigidités nominales $Y^*_t$. Ainsi, la règle de Taylor
s'écrit~:
\begin{equation}
    R_t= \bar{R}^{1-\rho}R_{t-1}^\rho\left[\bar{\pi}_t \left(
    \frac{\pi_{t-1}}{\bar{\pi}_t}\right)^{r_\pi} \left(
    \frac{Y_t}{Y^*_t}\right)^{r_Y}\right]^{1-\rho} \left(\frac{\pi_t}{\pi_{t-1}}\right)^{r_{\Delta
    \pi}}\left(\frac{Y_t Y^*_{t-1}}{Y_{t-1} Y^*_t} \right)^{r_{\Delta y}} e^{\eta_t^R}
\end{equation}
La présence du retard $R_{t-1}$ traduit la volonté de l'autorité monétaire de lisser la
dynamique du taux d'intérêt nominal. Pour évaluer $Y^*_t$, nous augmentons notre économie avec un
nouveau modèle dans lequel il n'y a pas de rigidités nominales (\textit{ie} on pose $\xi_p =
\xi_w=0$).

\section{Incertitude sur le modèle}\label{sec:3}

\noindent Dans la section précédente, nous avons posé un modèle paramétré comme processus générateur
des données (DGP)~; on note $\theta \in \Theta \subseteq \mathbb R^n$ le vecteur des paramètres
structurels. Des valeurs différentes de $\theta$ définissent différents DGP. Ainsi, une incertitude sur $\theta$, 
caractérisée par une densité de probabilité, définit un continuum de modèles possibles. L'estimation bayésienne 
de $\theta$, en confrontant nos \textit{a priori} aux données, permet de réviser l'ensemble des modèles possibles. 
L'estimation est effectuée sur une forme simplifiée du modèle, dans laquelle les chocs fiscaux ont été neutralisés (les
facteurs de taxes sont alors fixés à leurs valeurs à l'état stationnaire). 

\subsection{Les croyances \textit{a priori}}\label{sec:3:1}

Nos croyances sont dégénérées dans certaines directions~: pour certains paramètres nous
n'avons aucune incertitude, ils sont étalonnés. Notre incertitude ne porte que
sur la spécification des chocs, sur les paramètres qui définissent les rigidités réelles et
nominales et sur les paramètres qui définissent les préférences des
ménages\footnote{Le partage entre les paramètres certains (étalonnés) et incertains
(estimés) mérite discussion. Nous suivons ici l'usage en n'estimant pas les paramètres dont nous 
savons à l'avance qu'il est difficile de les identifier avec des données filtrées. Par
exemple, il est difficile d'identifier le facteur d'escompte $\beta$ si les données (filtrées)
n'apportent pas d'information sur le niveau moyen du taux d'intérêt réel, ce paramètre sera donc
étalonné. Etant donné notre problématique, il serait plus pertinent de n'étalonner aucun
paramètre en associant une densité \textit{a priori} à chaque paramètre. Si ces paramètres, à
l'instar de $\beta$, ne sont pas (ou peu) identifiable la densité postérieure sera identique (ou
proche) à la densité \textit{a priori}. Autrement dit, la confrontation aux donnés ne réduit pas
notre incertitude sur ces paramètres. En plus d'augmenter la dimension du problème, on
comprendra plus loin que cela n'affecterait vraisemblablement que marginalement les
résultats sur nos variantes, dans la mesure où on ne considère pas l'incertitude sur les
paramètres qui affectent l'état stationnaire. C'est pourquoi nous suivons l'usage en
étalonnant une partie des paramètres.}.\newline

\noindent Un certain nombre de paramètres sont directement calibrés à partir des données (voir la
section \ref{sec:3:2}). On obtient ainsi pour le taux d'intérêt nominal annuel $\bar{R}=4,51\%$ et
le taux d'inflation annuel $\bar{\pi}=2,34\%$, ce qui implique un facteur d'escompte $\beta$ égal à
$0,994$. Par ailleurs, le taux d'utilisation des capacités de production à l'état stationnaire est
calibré à $\bar{z}=0,82$. Enfin, la part des dépenses publiques dans le PIB est calibrée à $24,1\%$.
Les paramètres decrivant la fiscalité ont été calibrés à partir des mêmes données. Nous obtenons
ainsi un facteur de TVA $\tau^C=1.13$, des taux de charges salariales et charges patronales égaux
respectivement à $13\%$ et $30\%$, ce qui implique $\tau^W=0.87$ et $\tau^l=1.30$. La fiscalité sur
les revenus du capital, le profit des firmes et la location du capital ont été neutralisés, en
retenant $\tau^K=\tau^Y=\tau^r=1$.\newline Concernant les paramètres non directement calibrés à
partir des données, on retient un taux de dépréciation du capital $\delta$ égal à $0,025$, soit un
taux annuel de $10\%$. Le paramètre $\alpha$ est calibré à $0,30$, ce qui correspond à la part du
capital dans la valeur ajoutée. Pour finir, les élasticités de substitution du
travail et des biens intermédiaires dans la production sont calibrés respectivement à
$\lambda_w=\frac{1}{\nu-1}=0,5$ et $\lambda_p=\frac{1}{\epsilon-1}=0,3$.\newline

\noindent Nous retenons comme fonction de coût d'ajustement sur le niveau de l'investissement
$S(x)=\frac{1}{2\varphi}(1-x)^{2}$, qui vérifie les contraintes $S(1)=S'(1)=0$. La fonction de coût
lié aux variations du taux d'utilisation des capacités de production $\psi$ doit vérifier, à
l'équilibre, $\psi(\bar{z})=0$ ; on retiendra la forme
$\psi(z)=\exp(\frac{z-\bar{z}}{\Psi})-1$.\newline

\noindent Les densités \textit{a priori} associées aux paramètres pour lesquels nous sommes
incertains sont présentées dans les premières colonnes du tableau
\ref{Table:MHPosterior:1}. Les écart-types relatifs aux chocs sont estimés sur la base de
\textit{priors} non informatifs (distributions uniformes). L'incertitude sur l'élasticité de
substitution intertemporelle de la consommation, $\sigma_c$, et l'élastictité de l'offre de travail,
$\sigma_l$, sont respectivement caractérisées par des lois normales $\mathcal{N}(1,5;0,5)$ et
$\mathcal{N}(3,5;0,5)$. Concernant les paramètres relatifs aux rigidités nominales, nous avons
utilisé des distributions \textit{a priori} informatives ; les densités \textit{a priori} sur
les probabilités de Calvo, $\xi_p$ et $\xi_w$, sont des beta
$\mathcal{B}(0,75;0,05)$\footnote{Contrairement à l'usage, nous définissons ici la distribution
beta par l'espérance et l'écart-type.}. Dans le cas de données trimestrielles, la valeur de $0,75$
correspond à une réévaluation des salaires ou des prix une fois par an. Les paramètres d'indexation
sont des beta $\mathcal{B}(0,25;0,15)$. L'incertitude \textit{a priori} sur ces paramètres est plus
grande que l'incertitude sur les probabilités de Calvo. Notre règle de Taylor \textit{a priori} est
conforme aux règles généralement envisagées dans la littérature \citep[voir
par exemple][]{SW03}. L'incertitude sur les paramètres autorégressifs est spécifiée
à l'aide de distributions beta ou uniforme.

\subsection{Données}\label{sec:3:2}

L'estimation des paramètres a été effectuée à partir de données trimestrielles de la zone
euro. Les données retenues sont celles utilisées par le modèle Amazone développé par la
Banque de France. Elles sont issues des comptes nationaux d'Eurostat, à l'exception de la série de
TUC qui est fournie par la BRI, et du taux d'intérêt qui est le taux Euribor à 3 mois. Le facteur
d'inflation est défini comme le rapport des déflateurs du PIB sur deux périodes consécutives. Les
paramètres du
modèle sont identifiés à l'aide de sept variables~: le PIB en
volume, la consommation des ménages en volume, l'investissement en volume, le taux d'intérêt, le
TUC, le salaire par tête et un facteur d'inflation, observées entre 1991Q2 et 2005Q4. \`A la
différence de \citet{SW03}, nous n'utilisons pas l'emploi comme une \textit{proxy} des heures
travaillées. Les données sont corrigées de leur tendance, supposée log-linéaire, et centrées.

\subsection{Les croyances \textit{a posteriori}}\label{sec:3:3}

Afin de pouvoir estimer le modèle avec les sept variables observables, la structure
stochastique du modèle comprend sept chocs\footnote{Pour écrire la vraisemblance du modèle
il faut qu'il y ait au moins autant de sources d'aléa que de variables observables.}, dont cinq
chocs autorégressifs~:
$$
\log \varepsilon_t^j = \zeta^j \log \varepsilon_{t-1}^j + \eta_t^j ~~,~ \eta_t^j \sim
\mathcal{N}(0,\sigma_j) ~~~~ pour~j=a,B,L $$
$$\log G_t = (1-\rho_G) \log \bar{G} +\rho_G \log G_{t-1} +\nu_t^G ~~,~ \nu_t^G \sim \mathcal{N}(0,\sigma_G) $$
$$\log \bar{\pi}_t = \rho_{\pi} \log \bar{\pi}_{t-1}+ (1-\rho_{\pi}) \log \bar{\pi} + \nu_t^{\pi} ~~,~ \nu_t^{\pi} \sim \mathcal{N}(0,\sigma_{\pi})
$$
un bruit blanc sur le choc de taux d'intérêt, $\eta_t^R$, qui suit une loi normale
$\mathcal{N}(0,\sigma_R)$ et on suppose que $\varepsilon_t^I \equiv \mathcal{N}(0,\sigma_I)$. Elle
se différencie de celle employée dans \citet{SW03} principalement par l'absence de choc sur le
\textit{mark-up}, dont l'interprétation structurelle peut être discutée.\newline

\noindent Les espérances et écarts types postérieurs, ainsi que les \textit{Highest Probability
Intervals} (le plus petit intervalle contenant 80\% de la distribution postérieure), sont reportés 
dans le tableau (\ref{Table:MHPosterior:1}). Les densités postérieures
sont représentées dans la figure \ref{Fig:PriorsAndPosteriors}. Les valeurs estimées des paramètres 
autorégressifs des chocs
persistants s'étendent de $0,22$ (choc d'offre de travail) à $0,93$ (choc sur la cible
d'inflation). Le choc d'offre de travail apparaît particulièrement volatil. Les moyennes
postérieures des paramètres associés aux rigidités nominales sont $\xi_w=0,76$ et
$\xi_p=0,85$. Les moyennes postérieures des paramètres d'indexation sont $\gamma_w=0.16$ et
$\gamma_p=0.92$. L'indexation de l'inflation contemporaine sur l'inflation passée est proche de
zéro, les données semblent très informatives dans cette direction\footnote{Dans le sens où il y a
une différence appréciable entre les variances \textit{a priori} et \textit{a posteriori}.
Visuellement, la distribution postérieure de $\gamma_p$ (figure \ref{pd:gammap}) est beaucoup plus concentrée 
que sa distribution \textit{a priori}.}, contrairement aux estimations
reportées par \citet{SW03}. Les données sont bien moins informatives sur les élasticités $\sigma_c$
et $\sigma_l$ (voir les figures \ref{pd:sigmac} et \ref{pd:sigmal}). Les paramètres associés à l'inflation 
dans la règles de Taylor sont faiblement identifiés par les données, dans le sens où, par exemple, la 
distribution postérieure de $r_{\pi}$ est très proche de sa distribution \textit{a priori} (figure \ref{pd:rpi}).


{\tiny 
\begin{table}
\begin{center}
\centering
\begin{tabular}{l|lcc|cccc} 
\hline\hline \\ 
  & \multicolumn{3}{c}{Croyances \textit{a priori}} & \multicolumn{4}{c}{Croyances \textit{a posteriori}}\\ \\
\hline
  & Distribution & Espérance & Écart-type & Espérance & Écart-type  & $\mathcal I_1$ & $\mathcal I_2$ \\ 
\hline 
$\sigma_c               $ & normale &   1.500 & 0.5000 &   1.989& 0.4116 &  1.3118 &  2.6692 \\ 
$\sigma_l               $ & normale &   3.500 & 0.5000 &   3.390& 0.5008 &  2.5690 &  4.2134 \\ 
$\xi_w                  $ & bêta &   0.750 & 0.0500 &   0.760& 0.0343 &  0.7064 &  0.8175 \\ 
$\xi_p                  $ & bêta &   0.750 & 0.0500 &   0.851& 0.0194 &  0.8190 &  0.8826 \\ 
$\gamma_w               $ & bêta &   0.250 & 0.1500 &   0.161& 0.1039 &  0.0085 &  0.3092 \\ 
$\gamma_p               $ & bêta &   0.250 & 0.1500 &   0.915& 0.0344 &  0.8627 &  0.9696 \\ 
$\varphi^{-1}            $ & normale &   5.500 & 1.5000 &   8.529& 1.1758 &  6.5938 & 10.4514 \\ 
$h                      $ & bêta &   0.500 & 0.1500 &   0.784& 0.0606 &  0.6917 &  0.8806 \\ 
$\rho                   $ & bêta &   0.800 & 0.0500 &   0.889& 0.0226 &  0.8537 &  0.9258 \\ 
$r_{\pi}             $ & normale &   1.700 & 0.1000 &   1.654& 0.0995 &  1.4910 &  1.8181 \\ 
$r_y                 $ & normale &   0.125 & 0.0500 &   0.061& 0.0372 &  0.0003 &  0.1205 \\ 
$r_{\Delta \pi}      $ & normale &   0.300 & 0.1000 &   0.376& 0.0984 &  0.2147 &  0.5369 \\ 
$r_{\Delta y}        $ & normale &   0.062 & 0.0500 &   0.002& 0.0076 & -0.0106 &  0.0138 \\ 
$\rho_G                 $ & bêta &   0.800 & 0.1000 &   0.934& 0.0309 &  0.8869 &  0.9808 \\ 
$\rho_{\pi}              $ & bêta &   0.800 & 0.1000 &   0.915& 0.0511 &  0.8456 &  0.9886 \\ 
$\zeta^a                $ & uniforme &   0.500 & 0.2887 &   0.706& 0.0510 &  0.6260 &  0.7927 \\ 
$\zeta^B                $ & bêta &   0.600 & 0.1000 &   0.443& 0.0815 &  0.3113 &  0.5796 \\ 
$\zeta^L                $ & uniforme &   0.500 & 0.2887 &   0.220& 0.1186 &  0.0075 &  0.3863 \\ 
$\sigma_R               $ & uniforme &   0.500 & 0.2887 &   0.095& 0.0123 &  0.0757 &  0.1140 \\ 
$\sigma_{\pi}           $  & uniforme &   0.500 & 0.2887 &   0.215& 0.0419 &  0.1473 &  0.2829 \\ 
$\sigma_G               $ & uniforme &   2.500 & 1.4434 &   1.858& 0.1781 &  1.5710 &  2.1441 \\ 
$\sigma_a               $ & uniforme &   2.500 & 1.4434 &   0.924& 0.0926 &  0.7739 &  1.0724 \\ 
$\sigma_L               $ & uniforme &  20.000 & 11.5470 &  22.323& 5.5379 & 13.3526 & 31.2234 \\ 
$\sigma_B               $ & uniforme &   5.000 & 2.8868 &   5.483& 1.3295 &  3.3360 &  7.5805 \\ 
$\sigma_I               $ & uniforme &   2.500 & 1.4434 &   1.705& 0.1874 &  1.4002 &  2.0015 \\ 
\hline\hline
\end{tabular}
 \caption{\textbf{Résultats du Metropolis-Hastings.} L'intervalle $\mathcal I$ défini par la borne inférieure
 $\mathcal I_1$ et la borne supérieure $\mathcal I_2$ est le plus petit intervalle contenant 80\% de la 
 distribution postérieure.}
 \label{Table:MHPosterior:1}
 \end{center}
\end{table}
}


\begin{figure}[H]
\begin{center}

\subfigure[$\sigma_R$\label{pd:e_taylor}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{
PosteriorDensity_e_taylor.eps}}
\subfigure[$\sigma_{\pi}$\label{pd:e_pi}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_e_pi.eps}}
\subfigure[$\sigma_G$\label{pd:e_g}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_e_g.eps}}
\subfigure[$\sigma_{a}$\label{pd:e_a}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_n_a.eps}}
\subfigure[$\sigma_{L}$\label{pd:e_l}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_n_l.eps}}
\subfigure[$\sigma_{B}$\label{pd:e_B}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_n_b.eps}}
\subfigure[$\sigma_{I}$\label{pd:e_i}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_n_i.eps}}
\subfigure[$\sigma_c$\label{pd:sigmac}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_sigmac.eps}}
\subfigure[$\sigma_l$\label{pd:sigmal}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_sigmal.eps}}
\subfigure[$\xi_w$\label{pd:xiw}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_xiw.eps}}
\subfigure[$\xi_p$\label{pd:xip}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_xip.eps}}
\subfigure[$\gamma_w$\label{pd:gammaw}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_gammaw.eps}}
\subfigure[$\gamma_p$\label{pd:gammap}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_gammap.eps}}
\subfigure[$\varphi^{-1}$\label{pd:iphi}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_iphi.eps}}
\subfigure[$h$\label{pd:h}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_h.eps}}
\subfigure[$\rho$\label{pd:rho}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_rho.eps}}
\subfigure[$r_{\pi}$\label{pd:rpi}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_rpi.eps}}
\subfigure[$r_{y}$\label{pd:ry}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_ry.eps}}
\subfigure[$r_{\Delta\pi}$\label{pd:rdeltapi}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_rdeltapi.eps}}
\subfigure[$r_{\Delta y}$\label{pd:rdeltay}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_rdeltay.eps}}
\subfigure[$\rho_{g}$\label{pd:rhog}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_rhog.eps}}
\subfigure[$\rho_{\pi}$\label{pd:rhopi}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_rhopi.eps}}
\subfigure[$\zeta^{a}$\label{pd:zetaa}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_zetaa.eps}}
\subfigure[$\zeta^{B}$\label{pd:zetb1}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_zetab1.eps}}
\subfigure[$\zeta^{L}$\label{pd:zetal}]{\includegraphics[width=.18\textwidth]{PosteriorDensity_zetal.eps}}
\end{center}
\caption{\textbf{Densités a priori et a posteriori.} Les courbes en tirets noirs représentent les densités
\textit{a priori}, les frontières des surfaces grisées représentent les densités \textit{a posteriori}.}
\label{Fig:PriorsAndPosteriors}
\end{figure}


\section{Variantes}\label{sec:4}

\subsection{Caractérisation de l'incertitude}\label{sec:4:1}

Dans cette section, nous illustrons une des possibilités offertes par l'estimation de modèles
structurels tournés vers le futur. Il s'agit de simuler la réponse du modèle à des chocs
déterministes structurels ou de politique économique, qui éventuellement modifient l'état
stationnaire. Dans la mesure où le niveau de long terme peut être affecté par ces chocs, un modèle
stochastique résolu par une méthode de perturbation ne convient pas (voir la contribution de Michel
Juillard dans ce numéro). Pour cette raison, nous abandonnons l'hypothèse d'anticipations
rationnelles au profit de celle d'anticipations parfaites.\newline

\noindent Nous envisageons un choc permanent anticipé sur la TVA. L'objet de cette section est
d'illustrer comment nous pouvons projeter l'incertitude quant à la paramétrisation
du modèle sur l'espace des variantes. Par exemple, nous désirons déterminer, étant donnée notre
incertitude sur les paramètres du modèle (section \ref{sec:2}), la probabilité que le salaire réel
baisse lorsque les ménages et les firmes apprennent que la TVA augmentera de deux points deux ans
plus tard. L'incertitude envisagée ici ne concerne que l'économiste ; nous supposons que les agents
connaissent les paramètres du modèle.\newline

\noindent L'incertitude est caractérisée par la densité postérieure, $p( \theta |\mathcal Y_T)$,
obtenue à l'issue de l'estimation du modèle (section \ref{sec:3}). Notons
$\{\upsilon_s\}_{s=0}^{\mathcal H}$, une suite de vecteurs $m\times 1$, les trajectoires d'un
ensemble de variables endogènes suite à l'annonce à la date 1 d'un choc permanent à la période
$s>1$\footnote{\`A la date zéro, les variables sont initialisées à l'état stationnaire.}. Pour
$\theta$ donné, le vecteur regroupant les paramètres du modèle, on peut construire la suite
$\{\upsilon_s\}_{s=1}^{\mathcal H}$, on notera $\upsilon_{s} = \Upsilon_s (\theta)$ pour tout $
s\geq 0$ \footnote{La fonction $\Upsilon_s$ résume l'algorithme de relaxation utilisé pour résoudre
le modèle à anticipations parfaites.}. Nous
pouvons alors calculer la densité postérieure et les moments postérieurs de
$\{\upsilon_s\}_{s=1}^{\mathcal H}$. Par exemple, l'espérance postérieure de $\upsilon_{s}$ est~:
\[
\mathbb E \left[ \upsilon_{s} | \mathcal Y_T \right] = \int_{\Theta} \Upsilon_s
(\theta)p(\theta|\mathcal Y_T)\mathrm d\theta
\]
où $\Theta$ est l'espace des paramètres structurels. Plus généralement, la densité postérieure de
$\upsilon_{s}$ est~:
\[
\widetilde{p}(\upsilon_s) = |J_{\Upsilon_s}|^{-1}p(\upsilon_s)
\]
où $J_{\Upsilon_s}$ est la matrice jacobienne associée à $\Upsilon_s$. En pratique, nous utilisons
les simulations issues du Metropolis-Hastings (MH), mis en \oe uvre dans la section
\ref{sec:3} afin d'évaluer la distribution postérieure de $\theta$. On sélectionne $B$ vecteurs de
paramètres structurels, $\{\theta^{(b)}\}_{b=1}^B$, en tirant uniformément dans les simulations du
MH. L'espérance postérieure de $\upsilon_s$, par exemple, est alors estimée par~:
\[
\widehat{\mathbb E \left[ \upsilon_{s} | \mathcal Y_T \right]} = \frac{1}{B}\sum_{b=1}^B \Upsilon_s
(\theta^{(b)})
\] 
Pour chaque vecteur de paramètres structurels, $\theta^{(b)}$, on résoud le modèle à anticipation parfaite et on reporte la moyenne empirique des trajectoires obtenues\footnote{La figure \ref{Fig:VarTVA2} est obtenue avec $B=2000$. La courbe noire représente la moyenne (postérieure) des trajectoires. Chaque courbe grise représente une trajectoire correspondant à un vecteur de paramètres structurels.}.\newline

\noindent En pratique, nous devons faire quelques choix. Certains paramètres estimés affectent
l'état stationnaire. Dans notre cas, les paramètres $h$, le degré d'habitude dans les choix de
consommation, $\sigma_c$, l'élasticité intertemporelle de la consommation, et $\sigma_l$,
l'élasticité de l'effort travail, ont une influence sur l'état stationnaire. Or notre exercice de
variante est initialisé (en $s=0$) à l'état stationnaire qui prévaut avant l'annonce (en $s=1$) du
choc fiscal. Ainsi, en considérant l'incertitude sur l'ensemble des paramètres estimés nous
obtiendrions une distribution sur l'état stationnaire, et par conséquent sur le point initial. Cette
propriété peut paraître peu désirable, car elle complique l'interprétation des variantes. Nous avons
donc choisi de ne pas considérer l'incertitude sur ces trois paramètres\footnote{Ils sont étalonnés
à l'espérance postérieure.}. Une alternative serait de représenter les taux de croissance des
variables plutôt que les niveaux, puisqu'aucun paramètre n'affecte le taux de croissance de long
terme, afin d'étudier la dynamique de l'économie suite à l'annonce d'un choc de politique fiscale.

\subsection{Choc de TVA}\label{sec:4:2}
Nous présentons dans cette section les réponses de long et court termes du modèle à une hausse permanente 
anticipée du taux de TVA ($\tau^C-1$) de deux points. À long terme, le choc fiscal induit une réduction 
de la consommation, même si l'augmentation de la recette fiscale est intégralement reversée sous forme 
forfaitaire aux ménages. En effet, il crée une distorsion du prix de la consommation par rapport au coût
d'opportunité du loisir. Ainsi, la hausse de TVA modifie les arbitrages du ménage en faveur du loisir. À 
long terme, le choc fiscal détériore l'emploi, le stock de capital (les facteurs de production sont 
imparfaitement complémentaires) et le produit. Au final, l'augmentation de la pression fiscale coûte 
0,3\% du PIB.\newline    

\noindent Le choc fiscal est annoncé à la date Q1 (trait rouge plein sur la figure
\ref{Fig:VarTVA2}) et intervient effectivement à la fin de Q8 (trait rouge en pointillés sur la
figure \ref{Fig:VarTVA2}). L'annonce du choc de TVA modifie l'arbitrage intertemporel entre
consommation contemporaine et consommation future ; les ménages, prévoyant une augmentation du prix
relatif de la consommation, choisissent d'ajuster continument à la hausse la consommation jusqu'à la
date du choc (figure~\ref{vartva:C}). Cet ajustement est limité par la présence d'habitudes de
consommation. En moyenne, l'annonce en Q1 induit un saut de 0,1\% de la consommation. Juste avant la
réalisation du choc, en Q8, l'augmentation cumulée est de 0,4\% par rapport à l'état stationnaire
initial. Par la suite, la consommation baisse rapidement pour rejoindre son nouvel état
stationnnaire~: au douxième trimestre, elle a déjà retrouvé son niveau d'avant l'annonce et dix ans
après, en Q40, elle a perdu 0,3\%. Il convient de noter que l'incertitude sur le modèle ne se
traduit que marginalement par une incertitude quant à la réaction de la consommation. Ainsi les
trajectoires obtenues pour différentes valeurs des paramètres structurels sont très proches.
Graphiquement, sur la figure \ref{vartva:C}, on observe que la surface grisée est très concentrée
autour de la moyenne postérieure. Ceci s'explique par le fait que les paramètres $h$ et $\sigma_c$
de la courbe IS -- equation \ref{equ:4} -- sont fixés dans cet exercice.\newline

\noindent Pour financer ce besoin de consommation supplémentaire, chaque ménage est incité à
augmenter son salaire nominal dès qu'il en a la possibilité. En conséquence, le salaire nominal
augmente entre la date de l'annonce du choc et celle de son intervention. En moyenne, ceci se
retrouve dans l'évolution à la hausse du salaire réel (figure~\ref{vartva:w}), qui, au moment de la
réalisation du choc, atteint un niveau supérieur de 0,1\% à son niveau inital. Cependant, l'effet à
la date de l'annonce est plus ambigu. Sur la figure \ref{vartva:w}, on observe que selon les valeurs
des paramètres structurels, le salaire réel peut augmenter ou chuter lorsque les ménages apprennent
la hausse future de TVA. La probabilité postérieure d'un saut à la baisse est de 38,6\%. La figure
 (\ref{Fig:VarTVAwage}) représente (la courbe noire) un estimateur à noyau de la
densité du salaire
réel au moment de l'annonce. Le trait vertical rouge représente la condition initiale (l'état
stationnaire) du salaire réel. Cette ambiguïté est liée à l'incertitude associée au paramètre de
Calvo sur les salaires, $\xi_w$. Envisageons deux \textit{scenarii} polaires~:
\begin{itemize}

\item[(\textit{i})] Si $\xi_w$ est proche de 1, les ménages ne peuvent pas ajuster leurs salaires nominaux au moment de l'annonce. Par ailleurs, les firmes, qui anticipent simultanément une hausse de leur coût marginal, augmentent dès que possible leur prix, ce qui se traduit par une hausse instantanée de l'inflation dès l'annonce du choc (figure~\ref{vartva:pi}). Cela entraîne une baisse du salaire réel en Q1.

\item[(\textit{ii})] Si $\xi_w$ est proche de 0, les ménages peuvent ajuster à la hausse leurs
salaires nominaux au moment de l'annonce de façon à augmenter leur pouvoir d'achat. Ceci entraîne
une augmentation en Q1 du salaire réel.

\end{itemize}

\noindent L'autorité monétaire réagit à la hausse de l'inflation en augmentant le taux d'intérêt nominal (Figure~\ref{vartva:R}). Cette réaction a pour corollaire d'augmenter le taux d'intérêt réel, ce qui amoindrit la hausse de la consommation.\newline

\noindent Les ménages, en cherchant à augmenter leur consommation avant le choc, sont
amenés à consommer leur capital. De plus, le niveau de capital productif nécessaire après la
réalisation du choc est plus faible (la consommation des ménages baisse à long terme), ce qui renforce
la baisse de l'investissement (-0,1\% en Q1)
contrôlée par la présence d'un coût d'ajustement sur l'investissement (figure~\ref{vartva:I}). En
moyenne, la somme de la consommation et de l'investissement (la demande des ménages) augmente de
0,04\% en Q1. Pour alimenter cet accroissement de demande, les ménages pourraient offrir une
quantité supérieure de travail, mais (\textit{i}) cela détériorerait leur utilité et ne va pas dans
le sens de l'arbitrage consommation loisir, (\textit{ii}) par ailleurs les firmes sont plutôt
incitées à réduire leur demande de travail suite à la hausse du coût du travail. La seule
possibilité offerte aux ménages est de réduire le taux d'utilisation des capacités de production. En
effet, une baisse de $z_t$ induit une aubaine $\psi(z_t) K_{t-1}$ (voir l'équation
(\ref{eqmarchebien}) d'équilibre sur le marché des biens). Cette baisse est limitée par la
détérioration des revenus du capital des ménages (voir la condition nécessaire d'optimalité
(\ref{cnoz}) qui impose l'égalisation du gain marginal et de la perte marginale associés à $z$).
Cette aubaine est partiellement consommée puisqu'elle s'accompagne instantanément d'une baisse du
produit (figure~\ref{vartva:Y}). La baisse en Q1 de celui-ci a deux sources\footnote{Cette baisse
est limitée par la présence du coût fixe, $\Phi$. En effet, celui-ci est linéaire dans le niveau de
long terme du produit qui baisse dès l'annonce du choc fiscale.} : (\textit{i}) le capital utilisé
$\tilde{K}_t = z_t K_t $  baisse (figure~\ref{vartva:Ktild}) et (\textit{ii}) la frontière des prix
des facteurs (\ref{fpf}) indique que l'emploi doit s'ajuster à la baisse (figure~\ref{vartva:L}). La
consommation augmentant régulièrement entre Q1 et Q8, et le stock de capital physique se réduisant
sur tout l'exercice, dès Q2, les ménages réajustent à la hausse le taux d'utilisation du capital de
façon à augmenter le stock de capital physique installé. Puisque la technologie est à facteurs
imparfaitement complémentaires, cette évolution s'accompagne d'une remontée de la demande de
travail. En moyenne, le produit augmente de 0,1\% entre Q1 et Q8.\newline

\noindent Pour finir, le graphique \ref{vartva:OutputGap} permet de compléter notre compréhension
des effets du choc de TVA. L'écart de production augmente dès l'annonce de la réforme fiscale. Ce
résultat est attendu, puisque cette variable mesure la distance entre le produit observé et le
produit que nous observerions dans un monde sans rigidité nominale. En l'absence de rigidité sur les
prix, la hausse initale du salaire réel est plus prononcée, ce qui se traduit via la frontière de
prix des facteurs par une baisse de la demande de travail $L$ plus forte. Finalement, la réaction
initiale de la production est plus marquée. Pour l'autorité monétaire, il n'y a pas d'arbitrage
entre inflation et l'écart de production face à un choc anticipé de TVA : la dynamique de
l'écart de production renforce la nécessité d'une politique monétaire restrictive.

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\subfigure[Consommation\label{vartva:C}]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{vartva/C_mat.eps}}
\subfigure[Salaire réel\label{vartva:w}]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{vartva/w_mat.eps}}
\subfigure[Inflation\label{vartva:pi}]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{vartva/pi_mat.eps}}
\subfigure[Taux d'intérêt nominal\label{vartva:R}]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{vartva/R_mat.eps}}
\subfigure[Investissement\label{vartva:I}]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{vartva/I_mat.eps}}
\subfigure[Production\label{vartva:Y}]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{vartva/Y_mat.eps}}
\subfigure[Emploi\label{vartva:L}]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{vartva/L_mat.eps}}
\subfigure[Capital utilisé\label{vartva:Ktild}]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{vartva/Ktil_mat.eps}}
\subfigure[Écart
de production\label{vartva:OutputGap}]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{vartva/OutputGap.eps} }
\end{center}
\caption{Effets d'une hausse permanente et anticipée de TVA de 2 points.}
\label{Fig:VarTVA2}
\end{figure}


\begin{figure}[H]
\begin{center}
 \psfrag{0.9043}{0.9043}
 \psfrag{0.9044}{0.9044}
 \psfrag{0.9045}{0.9045}
 \psfrag{0.9046}{0.9046}
 \psfrag{0}{0}
 \psfrag{2000}{2000}
 \psfrag{4000}{4000}
 \psfrag{8000}{8000}
 \psfrag{6000}{6000}
 \psfrag{10000}{10000}
 \psfrag{12000}{12000}
 \psfrag{14000}{14000}
 \psfrag{16000}{16000}
\includegraphics[width=1\textwidth]{wage_density.eps}
\caption{\textbf{Impact de la politique fiscale sur le salaire réel, au moment de l'annonce.} 
Ce graphique représente la densité de probabilité du salaire réel en T1 au moment de l'annonce.
Celle-ci est estimée à l'aide d'un estimateur à noyau~; nous avons utilisé une fenêtre gaussienne et 
choisi le paramètre de lissage à l'aide de la méthode de Sheather et Jones.}
\label{Fig:VarTVAwage}
\end{center}
\end{figure}


\section{Conclusion}\label{sec:5}

Nous avons illustré en quoi un regard bayésien sur les modèles d'équilibre général intertemporels
stochastiques peut se révéler pertinent pour l'analyse de politiques économiques. L'estimation
bayésienne d'un modèle DSGE, nous permet de rendre compte de l'incertitude sur les variantes
construites à partir d'une version à anticipation parfaite du même modèle.\newline

\noindent Il convient de souligner certaines limites de l'exercice considéré ici. Nous avons pris le
parti de rester le plus proche possible de l'article de \citet{SW03} qui est à l'origine de
l'intérêt du monde institutionnel pour les modèles DSGE. La variante envisagée ici, un choc anticipé
sur le taux de TVA, serait sûrement plus riche d'enseignements dans un modèle où on distinguerait
deux types de ménages, des individus ricardiens (l'hypothèse adoptée ici) et une proportion de
ménages non ricardiens -- qui consommeraient la totalité de leur revenu salarial. Cette extension
permettrait, par exemple, de s'interroger sur la contrepartie de la politique fiscale (que peut
faire l'État des recettes fiscales supplémentaires~?) tout en identifiant des effets
supplémentaires d'une hausse de la TVA\footnote{Voir, par exemple, \citet{CoenenStraub}
qui estiment un tel modèle.}.\newline

\noindent La démarche poursuivie ici pourrait être étendue dans d'autres directions. D'abord
sur la caractérisation de l'incertitude. Nous avons supposé que l'incertitude quant au DGP ne porte
que sur les paramètres d'un modèle. C'est pourquoi nous n'avons estimé qu'un seul modèle. Nous
pourrions élargir l'incertitude en supposant que le DGP est un mélange de modèles paramétrés, à
mesure des densités marginales associées\footnote{La densité marginale mesure la qualité
d'ajustement d'un modèle. Voir la contribution de Stéphane Adjemian et Florian Pelgrin dans ce numéro.}. Une seconde
piste concerne l'initialisation de l'exercice de variante. Plutôt que d'initialiser la variante à un
état stationnaire, nous pourrions utiliser une condition historique. L'exercice s'interpréterait
alors comme une prévision conditionnelle. Par exemple, nous pourrions faire une prévision du PIB
sachant que dans un an l'État va changer le taux de TVA. Ces prolongements seront développés dans
des recherches ultérieures.


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%% À décocher pour éco et prev
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%theendnotes

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\begin{thebibliography}{99.}
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