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#+LANGUAGE: fr
#+STARTUP: latexpreview
#+TITLE: Propriétés de la fonction de production CES
#+DATE: Octobre 2022
#+AUTHOR: Stéphane Adjemian
#+EMAIL: stephane.adjemian@univ-lemans.fr

#+BEGIN_QUOTE
En cours nous abordons le modèle de Solow avec une fonction de production
Cobb-Douglas. Pour bien comprendre l'importance des différentes propriétés des
fonctions de production néoclassiques, il est utile de voir comment les
prédictions du modèle changent avec une autre fonction de production. Je
présente rapidement ici la fonction de production CES.
#+END_QUOTE

\\
\\
\\

La fonction de production CES (pour Constant Elasticity of Substitution) est
définie par :

\[
F(K, L) = \left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}
\]

avec $0<\gamma<1$ et $\gamma<1$. On peut montrer, voir plus bas, que le paramètre $\gamma$
détermine l'élasticité de substitution entre les facteurs~: \[ \sigma =
\frac{1}{1-\gamma} \] qui est constante (d'où le nom de la fonction de
production). Cette élasticité peut donc prendre, selon la valeur du paramètre
$\gamma$, des valeurs entre $0$ (les facteurs sont parfaitement complémentaires)
et $\infty$ (les facteurs sont parfaitement substituables).\\


#+BEGIN_property
La fonction $F$ est homogène de degré un.
#+END_property

La fonction de production CES, définie plus haut, est donc à rendements d'échelle constants. Il est donc possible de définir la fonction de
production intensive en exprimant la production par tête comme une fonction du
stock de capital par tête :
\[ f(k) = \left(a k^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1}{\gamma}} \]

#+BEGIN_property
Les productivités marginales sont positives.
#+END_property

#+BEGIN_proof
Pour la productivité marginale du capital, nous avons :

\begin{equation*}
\begin{split}
F_K(K,L) &= \frac{1}{\gamma} a \gamma K^{\gamma-1}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}-1}\\
&= a K^{\gamma-1}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}-1}\\
&= a K^{-\frac{1-\gamma}{\gamma}\gamma}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\\
&= a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\geq 0
\end{split}
\end{equation*}

La productivité marginale du capital dépend du stock de capital par tête, la
productivité marginale du capital est homogène de degré zéro puisque la fonction
de production est homogène de degré un. De la même façon, pour la productivité
marginale du travail, on montre que :

\[
F_L(K,L) = (1-a)\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\geq 0
\]
#+END_proof

#+BEGIN_property
Les productivités marginales sont décroissantes.
#+END_property

#+BEGIN_proof
La productivité du capital est une fonction
décroissante du stock de capital par tête, $k$ :

\[
\frac{\mathrm d F_K}{\mathrm d k} = -a(1-a)(1-\gamma)k^{-\gamma-1}\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}-1}<0
\]

pour toute valeur admissible de $\gamma<1$. De la même façon on montre que la
productivité marginale du travail est toujours une fonction croissante du stock
de capital par tête. Par ailleurs, le stock de capital par tête est une fonction
croissante de $K$ et décroissante de $L$. Au total, la productivité marginale du
capital (respectivement du travail) est une fonction décroissante du capital
(respectivement du travail).
#+END_proof

#+BEGIN_property
L'élasticité de substitution entre les facteurs est constante.
#+END_property

#+BEGIN_proof
On peut définir l'isoquant de niveau $\bar Y$ comme l'ensemble des couples
$(L,K)$ tels que $F(K,L)=\bar Y$. Le long d'un isoquant, nous devons donc
avoir :

\[
F_K(K,L)\mathrm dK + F_L(K,L)\mathrm d L = 0
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\mathrm dK}{\mathrm d L} =- \frac{F_L(K,L)}{F_K(K,L)}
\]

la pente de l'isoquant de niveau $\bar Y$ en un point $(K,L)$, A.K.A. le TMST
(au signe près). Dans le cas de la fonction CES, on a :

\[
\textrm{TMST}(K,L) = \frac{(1-a)\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}{a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}
\]

\[
\Leftrightarrow \textrm{TMST}(K,L) = \frac{(1-a)}{a} k^{1-\gamma}
\]

\[
\Rightarrow \log \textrm{TMST}(K,L) = \log\frac{(1-a)}{a} +(1-\gamma) \log k
\]

\[
\Rightarrow  \frac{\mathrm d \textrm{TMST}}{\textrm{TMST}} = (1-\gamma)\frac{\mathrm d k}{k}
\]

\[
\Leftrightarrow \underbrace{\frac{\frac{\mathrm d k}{k}}{\frac{\mathrm d \textrm{TMST}}{\textrm{TMST}}}}_{\sigma} = \frac{1}{1-\gamma}
\]

L'élasticité de substitution entre les facteurs $K$ et $L$, que nous noterons
$\sigma$, caractérise la courbure de l'isoquant en reliant le taux de variation
du ratio des facteurs, $k=\frac{K}{L}$, au taux de variation de la pente de
l'isoquant.
#+END_proof

#+BEGIN_property
L'élasticité de la production par rapport au capital n'est pas constante.
#+END_property


#+BEGIN_proof
L'élasticité de la production par rapport au stock de capital est définie par :

\[
\epsilon_{Y/K} = \frac{F_K(K,L)}{\frac{F(K,L)}{K}}
\]

le rapport de la productivité marginale et de la productivité moyenne. Nous avons
exprimé plus haut la productivité marginale en fonction de $k$, nous pouvons faire de
même pour la productivité moyenne :

\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{F(K,L)}{K} &= K^{-\frac{\gamma}{\gamma}}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\
&= \left(a + (1-a)\left(\frac{L}{K}\right)^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\
&= \left(a + (1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\
\end{split}
\end{equation*}

Ainsi :

\[
\epsilon_{Y/K}(k) = \frac{a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}{\left(a + (1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}}
\]

\[
\Leftrightarrow \epsilon_{Y/K}(k) = \frac{a}{a + (1-a)k^{-\gamma}}
\]
#+END_proof

#+BEGIN_property
L'élasticité de la production par rapport au capital est une fonction monotone croissante de $k$ si $0<\gamma<1$, monotone décroissante si $\gamma<0$. De plus on a :
\begin{equation*}
\lim_{k\rightarrow\infty}\epsilon_{Y/K}(k) =
\begin{cases}
1, &\text{ si } 0<\gamma<1\\
0 &\text{ si } \gamma<0
\end{cases}
\end{equation*}
#+END_property

Quand $\gamma>0$, c'est-à-dire $\sigma>1$, la fonction de production devient
asymptotiquement linéaire. Ce qui explique pourquoi, une fois plongée dans le
modèle de Solow, cette fonction de production génère éventuellement de la
croissance endogène[fn:1: le modèle génère éventuellement de la croissance
endogène quand les facteurs sont plus substituables que dans le cas Cobb-Douglas
(nous avons montré, en cours, que dans ce cas l'élasticité de substitution est
$\sigma=1$)].

\\

La fonction de production CES peut être interprétée comme une généralisation de
la fonction de production Cobb-Douglas. Il suffit de noter que lorsque $\gamma$
se rapproche de zéro, $\sigma$ tend vers un, le $\mathrm{TMST}$ de la CES
converge vers le $\mathrm{TMST}$ de la Cobb-Douglas pour tout $k>0$.
