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\synctex=1
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\documentclass[10pt,notheorems]{beamer}
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\usetikzlibrary{patterns, arrows, decorations.pathreplacing, decorations.markings, calc}
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\pgfplotsset{plot coordinates/math parser=false}
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\newlength\figurewidth
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\makeatletter
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\@ifclassloaded{beamer}{
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% Git hash
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\usepackage{xstring}
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\immediate\write18{git rev-parse HEAD > git.hash}
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\CatchFileDef{\HEAD}{git.hash}{\endlinechar=-1}
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\newcommand{\gitrevision}{\StrLeft{\HEAD}{7}}
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}{}
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\makeatother
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\newcommand{\trace}{\mathrm{tr}}
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\newcommand{\vect}{\mathrm{vec}}
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\newcommand{\tracarg}[1]{\mathrm{tr}\left\{#1\right\}}
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\newcommand{\vectarg}[1]{\mathrm{vec}\left(#1\right)}
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\newcommand{\vecth}[1]{\mathrm{vech}\left(#1\right)}
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\newcommand{\iid}[2]{\mathrm{iid}\left(#1,#2\right)}
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\newcommand{\normal}[2]{\mathcal N\left(#1,#2\right)}
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\newcommand{\sample}{\mathcal Y_T}
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\newcommand{\samplet}[1]{\mathcal Y_{#1}}
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\newcommand{\slidetitle}[1]{\fancyhead[L]{\textsc{#1}}}
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
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\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
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\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
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\newcommand{\binomial}[2]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \end{pmatrix}}
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\newcommand{\bigO}[1]{\mathcal O \left(#1\right)}
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\newcommand{\red}{\color{red}}
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\newcommand{\blue}{\color{blue}}
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\renewcommand{\qedsymbol}{C.Q.F.D.}
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\newcolumntype{d}{D{.}{.}{-1}}
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\definecolor{gray}{gray}{0.9}
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\newcolumntype{g}{>{\columncolor{gray}}c}
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\makeatletter
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\@ifclassloaded{beamer}{\setbeamertemplate{theorems}[numbered]{}}{}
|
|
\makeatother
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|
\theoremstyle{plain}
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|
\makeatletter
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|
\@ifclassloaded{beamer}{
|
|
\setbeamertemplate{footline}{
|
|
{\hfill\vspace*{1pt}\href{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode}{\ccbysa}\hspace{.1cm}
|
|
\href{https://git.ithaca.fr/stepan/econometrics/src/commit/\HEAD/cours/chapitre-1.tex}{\gitrevision}\enspace--\enspace\today\enspace
|
|
}}
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\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
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\setbeamertemplate{blocks}[rounded][shadow=true]
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\setbeamertemplate{caption}[numbered]
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\newenvironment{notes}
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{\bgroup \justifying\bgroup\tiny\begin{spacing}{1.0}}
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|
{\end{spacing}\egroup\egroup}
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|
{\end{block}\egroup}
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{\bgroup \small\begin{block}{Définition. #1}}
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|
{\end{block}\egroup}
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|
{\bgroup \small\begin{block}{Exemple. #1}}
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|
{\end{block}\egroup}
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}{}
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|
\makeatother
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|
\begin{document}
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\title{Économétrie\\\small{Les MCO quand tout va bien}}
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|
\author[S. Adjemian]{Stéphane Adjemian}
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|
\institute{\texttt{stephane.adjemian@univ-lemans.fr}}
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\date{Septembre 2023}
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\begin{frame}
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\titlepage{}
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\end{frame}
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\section{DGP et modèle empirique}
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\begin{frame}
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\frametitle{Le modèle de la nature}
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\framesubtitle{Un modèle linéaire}
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\bigskip
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On suppose que les données ($y$) sont générées par le modèle suivant~:
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\[
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y_t = \beta_1x_{1,t} + \beta_2x_{2,t} + \dots + \beta_Kx_{K,t} + \varepsilon_t
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|
\]
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\bigskip
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\begin{itemize}
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|
\item $y$ est la variable endogène (ou expliquée).\newline
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|
\item $x_{k}$, $k=1,\ldots,K$, sont les variables exogènes (ou explicatives).\newline
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|
\item $\varepsilon_t$ est une variable aléatoire, elle rend compte de ce qui ne peut être expliqué par les variables $x_k$.\newline
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|
\item La nature nous donne un échantillon $\{y_t,x_{1,t},\ldots,x_{K,t}\}_{t=1}^T$ ($T$ est le nombre d'observations).\newline
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|
\item Les $K$ variables exogènes peuvent être déterministes (pour simplifier) ou aléatoires.\newline
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Le modèle de la nature}
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\framesubtitle{Variables exogènes déterministes ou aléatoires}
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|
\begin{itemize}
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|
\item Les variables exogènes sont déterministes $\Leftrightarrow$
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|
Lorsque l'économètre s'adresse à la nature afin d'obtenir un
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|
nouvel échantillon, elle lui renvoit toujours les mêmes valeurs
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|
pour les variables exogènes.\newline
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|
\item Dans le cas de variables exogènes non
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stochastiques, $\varepsilon$ est la seule source d'aléa.\newline
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|
\item[$\Rightarrow$] La loi de $y$ est directement déduite de celle de $\varepsilon$.\newline
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|
\item Cette hypothèse simplifie grandement l'étude des propriétés de
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l'estimateur des Moindres Carrés Ordinaires, mais dans certaines
|
|
circonstances elle est beaucoup trop forte (voire n'a aucun sens
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|
comme dans le cas des modèles dynamiques).\newline
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\end{itemize}
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\end{frame}
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|
\begin{frame}
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\frametitle{Le modèle de la nature}
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|
\framesubtitle{Variables exogènes déterministes ou aléatoires}
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\begin{figure}
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\centering
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|
\begin{subfigure}{0.4\textwidth}
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\scalebox{.3}{
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\input{images/chapitre-1/app-01-sample-nonstochastic-x.tex}}
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|
\caption{$x$ déterministe.}
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\label{fig:01:a}
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|
\end{subfigure}
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|
\hfill
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|
\begin{subfigure}{0.4\textwidth}
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|
\scalebox{.3}{
|
|
\input{images/chapitre-1/app-01-sample-stochastic-x.tex}}
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|
\caption{$x$ stochastique.}
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\label{fig:01:b}
|
|
\end{subfigure}
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|
\label{fig:01}
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|
\caption{Le modèle de la nature est $y_t = x_t + \varepsilon_t$ avec $x_t$ une variable exogène prenant des valeurs dans l'intervalle $[0,10]$ et $\varepsilon_t$ une variable alléatoire gaussienne centrée réduite avec $\mathbb E[\varepsilon_t\varepsilon_s]=0$ si $s\neq t$. Chaque figure représente 100 échantillons de 10 observations. Les codes pour reproduire ces graphiques sont disponibles \href{https://git.ithaca.fr/stepan/econometrics/src/commit/\HEAD/cours/codes/chapitre-1/app-001.py}{ici}.}
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\end{figure}
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\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Le modèle de la nature}
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\framesubtitle{Représentation matricielle}
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\begin{itemize}
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|
\item Ce modèle peut être représenté matriciellement sous la forme :
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\[
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Y = X\beta + \varepsilon
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\]
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avec $Y = \left( y_1, y_2, \dots, y_T\right)'$ et $\varepsilon = \left( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_T\right)'$ des vecteurs $T\times 1$, $\beta = \left( \beta_1, \dots, \beta_K \right)'$ un vecteur $K\times 1$ et
|
|
\[
|
|
X =
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|
\begin{pmatrix}
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|
x_{1,1} & x_{2,1} & \dots & x_{K,1} \\
|
|
x_{1,2} & x_{2,2} & \dots & x_{K,2} \\
|
|
\vdots & \vdots & & \vdots \\
|
|
x_{1,T} & x_{2,2} & \dots & x_{K,T} \\
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\]
|
|
une matrice $T\times K$.\newline
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|
|
|
\item On notera $\mathbf x_t = (x_{1,t},x_{2,t}, \dots, x_{K,t})$ la t-ième observation pour les exogènes (un vecteur $1\times K$).
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Le modèle de la nature}
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\framesubtitle{Hypothèses}
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\begin{itemize}
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|
\item[$\mathcal H_1$] Les variables exogènes sont déterministes.\newline
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|
\bigskip\bigskip
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|
|
\item[$\mathcal H_2$] $X$ est une matrice de rang $K<T$ et vérifie :
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\[
|
|
\lim_{T\rightarrow\infty} \frac{X'X}{T} = Q
|
|
\]
|
|
où $Q$ est une matrice symétrique définie positive.\newline
|
|
|
|
\bigskip\bigskip
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|
|
|
\item[$\mathcal H_3$] $\varepsilon$ suit loi normale multivariée d'espérance nulle et de variance $\sigma_{\varepsilon}^2I_T$.
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|
\end{itemize}
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|
\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Le modèle de l'économètre}
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|
\framesubtitle{Pas de mauvaise spécification}
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\begin{itemize}
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\item On suppose que l'économmètre connaît la forme du modèle de la nature.\newline
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\bigskip
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\item Mais il ne connaît pas les valeurs des paramètres $\beta$ qu'il va chercher à estimer...\newline
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\bigskip
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\item ... En utilisant l'unique échantillon que lui donne la nature.\newline
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\bigskip
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\item Le modèle empirique est donc :
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\[
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Y = X\beta + \epsilon
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\]
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\end{itemize}
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\end{frame}
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|
\section{Moindres Carrés Ordinaires}
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\end{document}
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