Ajout correction pour l'examen de décembre 2023.
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5c76340172
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ae73ead3b4
GPG Key ID:
295C1FE89E17EB3C
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@ -1,12 +1,17 @@
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LATEX = pdflatex
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all: partiel-2023.pdf clean
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all: partiel-2023.pdf correction-2023.pdf clean
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partiel-2023.pdf: partiel-2023.tex
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while ($(LATEX) partiel-2023.tex ; \
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grep -q "Rerun to get cross" partiel-2023.log ) do true ; \
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done
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correction-2023.pdf: correction-2023.tex
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while ($(LATEX) correction-2023.tex ; \
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grep -q "Rerun to get cross" correction-2023.log ) do true ; \
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done
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clean:
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rm -rf *.aux
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rm -rf *.out
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@ -0,0 +1,307 @@
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\documentclass[12pt,a4paper,notitlepage,twocolumn]{article}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsbsy}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{float}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage{palatino}
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\usepackage[active]{srcltx}
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\usepackage{scrtime}
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\newcounter{qnumber}
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\setcounter{qnumber}{0}
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\newcounter{enumber}
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\setcounter{enumber}{0}
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\newcommand{\question}{\textbf{(\addtocounter{qnumber}{1}\theqnumber)}\,}
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\newcommand{\exercice}{\textbf{\addtocounter{enumber}{1}\textsc{Exercice} \theenumber}.\,}
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\setlength{\parindent}{0cm}
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\begin{document}
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\title{\textsc{Économétrie Approfondie}\\ \small{(Éléments de correction)}}
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\date{Mercredi 13 décembre 2023}
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\maketitle
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\thispagestyle{empty}
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\bigskip
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\exercice On suppose que les données sont générées par le modèle suivant~:
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\[
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y_i = x_{1,i}\beta_1 + \ldots x_{K,i}\beta_K + \varepsilon_i
|
||||
\]
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||||
où $x_{k,i}$, pour $k=1,\ldots,K$ sont des variables explicatives
|
||||
déterministes, $\beta_k$, pour $k=1,\ldots,K$, sont des paramètres
|
||||
réels, $\varepsilon_i$ une variable aléatoire centrée de
|
||||
variance $\sigma_{\varepsilon}^2$. \question On obtient la représentation matricielle de ce modèle en concatément (verticalement) les observations. On pose~: $Y = \left( y_1, y_2, \dots, y_N \right)'$, $\varepsilon = \left( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_N \right)'$, $\beta = \left( \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_K \right)$ et
|
||||
\[
|
||||
X =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
x_{1,1} & x_{2,1} & \ldots & x_{K,1}\\
|
||||
x_{1,2} & x_{2,2} & \ldots & x_{K,2}\\
|
||||
\vdots & \vdots & & \vdots \\
|
||||
x_{1,N} & x_{2,N} & \ldots & x_{K,N}\\
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
On peut alors réécrire le modèle sous la forme~:
|
||||
\[
|
||||
Y = X\beta + \varepsilon
|
||||
\]
|
||||
\question L'estimateur des MCO est le vecteur $\hat\beta$ qui minimise la somme des carrés des résidus :
|
||||
\begin{equation*}
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||||
\begin{split}
|
||||
\hat\beta &= \arg\min_{\{\beta\}} (Y-X\beta)'(Y-X\beta) \\
|
||||
&= \arg\min_{\{\beta\}} Y'Y - \beta'X'Y - Y'X\beta + \beta'X'X\beta \\
|
||||
&= \arg\min_{\{\beta\}} \beta'X'X\beta -2\beta'X'Y
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
La condition nécessaire d'optimalité est~:
|
||||
\[
|
||||
2X'X\hat\beta - 2X'Y = 0
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \hat\beta = \left( X'X \right)^{-1}X'Y
|
||||
\]
|
||||
en supposant que la matrice $X'X$ est inversible (c'est le cas si,
|
||||
comme nous le supposons habituellement, $X$ est une matrice de
|
||||
rang $K$). \question $\hat\beta$ est un estimateur sans biais
|
||||
de $\beta$. Pour le montrer substituons le DGP dans l'expression de
|
||||
l'estimateur :
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\hat \beta &= \left( X'X \right)^{-1}X'\left( X\beta + \varepsilon \right)\\
|
||||
&= \left( X'X \right)^{-1}X'X\beta +\left( X'X \right)^{-1}X'\varepsilon\\
|
||||
&= \beta + \left( X'X \right)^{-1}X'\varepsilon
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
En supposant que les variables exogènes sont déterministes (sinon il
|
||||
faut recourrir au théorème des espérances itérées), on a donc :
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\mathbb E\left[\hat\beta\right] &= \beta + \mathbb E\left[\left( X'X \right)^{-1}X'\varepsilon\right]\\
|
||||
&= \beta + \left( X'X \right)^{-1}X'\mathbb E\left[\varepsilon\right]\\
|
||||
&= \beta
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\question La variance de $\hat \beta$ est définie
|
||||
par
|
||||
$\mathbb V\left[\hat\beta\right] = \mathbb E\left[\left( \hat\beta-\mathbb E\left[ \hat\beta \right] \right)^2\right]$. En
|
||||
substituant l'expression de $\hat\beta$ en fonction de $\beta$ (qui
|
||||
est aussi l'espérance de $\hat\beta$), il vient (en supposant
|
||||
que $\mathbb E\left[\varepsilon_i\varepsilon_j\right]=0$ pour
|
||||
tout $i\neq j$)~:
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\mathbb V\left[\hat\beta \right] &= \mathbb V\left[\left( X'X \right)^{-1}X'\varepsilon\right]\\
|
||||
&= \left( X'X \right)^{-1}X'\mathbb V\left[\varepsilon\right] X\left( X'X \right)^{-1} \\
|
||||
&= \left( X'X \right)^{-1}X'\sigma_{\varepsilon}^2 I_N X\left( X'X \right)^{-1} \\
|
||||
&= \sigma^2_{\varepsilon}\left( X'X \right)^{-1}X'X\left( X'X \right)^{-1}\\
|
||||
&= \sigma^2_{\varepsilon}\left( X'X \right)^{-1}
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
Si la variance du vecteur $\varepsilon$ est différente
|
||||
de $\sigma_{\varepsilon}^2I_N$ (autocorrélation ou hétéroscédasticité)
|
||||
les matrices $X'X$ ne se simplifient plus et on obtient~:
|
||||
\[
|
||||
\mathbb V\left[\hat\beta \right] = \left( X'X \right)^{-1}X'\Sigma X\left( X'X \right)^{-1}
|
||||
\]
|
||||
où $\Sigma$ est la matrice de variance covariance
|
||||
de $\varepsilon$. \question L'estimateur des MCO est une variable
|
||||
aléatoire, \emph{i.e.} a une variance, car $\hat\beta$ est une
|
||||
fonction linéaire du vecteur aléatoire $\varepsilon$.
|
||||
|
||||
\setcounter{qnumber}{0}
|
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\bigskip
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||||
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||||
\exercice On considère le modèle suivant~:
|
||||
\[
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||||
y_i = \mu + \varepsilon_i
|
||||
\]
|
||||
pour $i=1,\ldots,N$ avec $\mu$ un paramètre réel et $\varepsilon_i$ une variable aléatoire réelle
|
||||
d'espérance nulle et de variance $\sigma_{i}^2$ avec $\mathbb E\left[ \varepsilon_i\varepsilon_j \right]=0$ si $i\neq j$. On suppose que
|
||||
$\lim_{N\rightarrow\infty}N^{-1}\sum_{i=1}^N \sigma_i^2 = \bar
|
||||
\sigma^2<\infty$. Le modèle empirique est~:
|
||||
\[
|
||||
y_i = a + u_i
|
||||
\]
|
||||
\question On montre facilement que l'estimateur des MCO de $a$ est la moyenne des $y_i$. Le modèle peut s'écrire sous forme matricielle~:
|
||||
\[
|
||||
Y = X a + U
|
||||
\]
|
||||
avec $Y = \left( y_1,y_2,\dots,y_N \right)'$, $U = \left( u_1, u_2, \dots, u_N \right)'$ et $X = (1, 1, \dots, 1)'$ un vecteur $N\times 1$. K'estimateur des MCO est~:
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\hat a_{\textsc{mco}} &= (X'X)^{-1}X'Y\\
|
||||
&= N^{-1}\sum_{i=1}^Ny_i = \bar y
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
\question L'espérance $\hat a_{\textsc{mco}}$, en substituant le processus générateur des données, est~:
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\mathbb E \left[\hat a_{\textsc{mco}}\right] &= N^{-1}\sum_{i=1}^N\mathbb E[\mu + \varepsilon_i]\\
|
||||
&= N^{-1}N\mu + 0 = \mu
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
$\hat a_{\textsc{mco}}$ est donc un estimateur sans biais de $\mu$. \question On suit la même démarche pour le calcul de la variance de $\hat a_{\textsc{mco}}$\footnote{En retenant de la question 2 que $\hat a_{\textsc{mco}}=\mu+N^{-1}\sum_{i=1}^N$ et donc que $\hat a_{\textsc{mco}}-\mathbb E\left[ \hat a_{\textsc{mco}} \right]=N^{-1}\sum_{i=1}^N\varepsilon_i$.}. On a~:
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\mathbb V\left[\hat a_{\textsc{mco}} \right] &= N^{-2}\mathbb E\left[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\varepsilon_i\varepsilon_j \right]\\
|
||||
&= N^{-2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\mathbb E\left[\varepsilon_i\varepsilon_j \right]\\
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
comme les $\varepsilon_i$ sont non corrélés, il vient :
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\mathbb V\left[ \hat a_{\textsc{mco}} \right] &= N^{-2}\sum_{i=1}^N\sigma_i^2\\
|
||||
&= \frac{\bar \sigma^2}{N}
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
\question La variance de $\hat a_{\textsc{mco}}$ tend vers 0 quand $N$
|
||||
tend vers l'infini, l'estimateur tend donc, par la loi des frands
|
||||
nombres, en probabilité vers son espérance~:
|
||||
\[
|
||||
\hat a_{\textsc{mco}}\xlongrightarrow[N\rightarrow\infty]{\textrm{proba}}\mu
|
||||
\]
|
||||
\question Cet estimateur sans biais n'est pas efficace car la variance
|
||||
des résidus est spécifique à chaque observation (problème
|
||||
d'hétéroscédasticité). \question De façon générale, l'estimateur des MCG est défini par~:
|
||||
\[
|
||||
\hat a_{\textsc{mcg}} = \left( X'\Sigma^{-1}X \right)^{-1}X'\Sigma^{-1}Y
|
||||
\]
|
||||
où $\Sigma$ est la variance du vecteur $\varepsilon$~:
|
||||
\[
|
||||
\Sigma =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\sigma_1^2 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
|
||||
0 & \sigma_2^2 & 0 & \dots & 0 \\
|
||||
\vdots & & \ddots & & \vdots \\
|
||||
\vdots & & & \ddots & \vdots \\
|
||||
0 & \dots& & 0 & \sigma_N^2
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
On a donc~:
|
||||
\[
|
||||
\hat a_{\textsc{mcg}} = \left( \frac{1}{\sigma_1^2} + \frac{1}{\sigma_2^2} + \dots + \frac{1}{\sigma_N^2} \right)^{-1}\left( \frac{y_1}{\sigma_1^2} + \frac{y_2}{\sigma_2^2} + \dots + \frac{y_N}{\sigma_N^2} \right)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Il s'agit d'un estimateur sans biais de $\mu$. En effet~:
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\mathbb E\left[ \hat a_{\textsc{mcg}}\right] &= \left( \frac{1}{\sigma_1^2} + \frac{1}{\sigma_2^2} + \dots + \frac{1}{\sigma_N^2} \right)^{-1}\sum_{i=1}^N \frac{\mathbb E[y_i]}{\sigma_i^2}\\
|
||||
&= \left( \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2} \right)^{-1}\sum_{i=1}^N \frac{\mu}{\sigma_i^2} \\
|
||||
&= \mu
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
\question Pour calculer la variance de $\hat a_{\textsc{mcg}}$ on peut partir de la forumule obtenue en cours, $\left(X'\Sigma^{-1}X\right)^{-1}$, ou du cas particulier étudié ici~:
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\mathbb V\left[ \hat a_{\textsc{mcg}}\right] &= \mathbb E\left[ \left( \hat a_{\textsc{mcg}} -\mu\right)^2\right]\\
|
||||
&= \left( \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2} \right)^{-2} \mathbb E\left[\left(\sum_{i=1}^N \frac{\varepsilon_i}{\sigma_i^2}\right)^2\right]\\
|
||||
&= \left( \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2} \right)^{-2} \mathbb E\left[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\frac{\varepsilon_i}{\sigma_i^2}\frac{\varepsilon_j}{\sigma_j^2} \right]\\
|
||||
&= \left( \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2} \right)^{-2} \mathbb E\left[\sum_{i=1}^N \frac{\varepsilon_i^2}{\sigma_i^4}\right]\\
|
||||
&= \left( \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2} \right)^{-2} \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2}\\
|
||||
&= \left( \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2} \right)^{-1}
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\question La variance de $\hat a_{\textsc{mco}}$ est plus grande que celle de $\hat a_{\textsc{mcg}}$. En effet~:
|
||||
\[
|
||||
\mathbb V \left[\hat a_{\textsc{mco}}\right] > \mathbb V \left[\hat a_{\textsc{mco}}\right]
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \frac{\bar \sigma^2}{N} > \left( \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2} \right)^{-1}
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \bar \sigma^2 > N\left( \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2} \right)^{-1}
|
||||
\]
|
||||
On reconnaît gauche une moyenne arithmétique et à droite une moyenne
|
||||
harmonique. La moyenne harmonique est toujours plus petite que la
|
||||
moyenne arithmétique (voir le rappel). Donc la variance de
|
||||
l'estimateur des MCO est plus grande que la variance de l'estimateur
|
||||
des MCG. Comme la variance de l'estimateur des MCO converge vers 0
|
||||
quand $N$ tend vers l'infini, la variance de l'estimateur des MCG
|
||||
converge nécessairement vers 0 quand $N$tend vers l'infini, et donc
|
||||
l'estimateur des MCG converge aussi en probabilité vers $\mu$.
|
||||
|
||||
\textbf{\textsc{Rappel}} \textit{Soient $\alpha_1, \ldots,\alpha_n$ des nombres réels positifs, alors la moyenne arithmétique des $\alpha_i$ est plus grande que la moyenne harmonique des $\alpha_i$:
|
||||
\[
|
||||
\frac{\alpha_1+\ldots+\alpha_n}{n} > \frac{n}{\frac{1}{\alpha_1}+\ldots+\frac{1}{\alpha_n}}
|
||||
\]}
|
||||
|
||||
\setcounter{qnumber}{0}
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\exercice Soit le modèle~:
|
||||
\[
|
||||
y_t = \beta x_t + \varepsilon_t
|
||||
\]
|
||||
avec $\beta$ un paramètre réel et
|
||||
\[
|
||||
\varepsilon_t = \varphi_1 \varepsilon_{t-1} + \varphi_2\varepsilon_{t-2} + \nu_t
|
||||
\]
|
||||
où $\nu_t$ est une variable aléatoire centrée de
|
||||
variance $\sigma_\nu^2$ et les paramètres
|
||||
réels $\varphi_1$, $\varphi_2$ sont tels que les moments d'ordre 2 (la
|
||||
variance et la fonction d'autocorrélation) de $\varepsilon_t$ sont
|
||||
bien définis. On peut montrer, cela fera l'objet d'un cours au second
|
||||
semestre que la fonction d'autocorrélation
|
||||
de $\varepsilon$, $\rho(k)$, est non nulle est tend vers zero
|
||||
quand $k$ tend vers l'infini (la corrélation entre $\varepsilon_t$
|
||||
et $\varepsilon_{t-k}$ se rapproche de zéro quand $k$ devient assez
|
||||
grand). On suppose que les valeurs de $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont
|
||||
connues. \question des MCO pour $\beta$ n'est pas un estimateur efficace car les résidus du modèle sont autocorrélés. \question On
|
||||
pose $\tilde y_t = y_t-\varphi_1 y_{t-1} - \varphi_2 y_{t-2}$
|
||||
et $\tilde x_t = x_t-\varphi_1 x_{t-1}-\varphi_2 x_{t-2}$. En
|
||||
utilisant la définition de $y$ on a :
|
||||
\[
|
||||
y_{t-1} = \beta x_{t-1} + \varepsilon_{t-1}
|
||||
\]
|
||||
et
|
||||
\[
|
||||
y_{t-2} = \beta x_{t-2} + \varepsilon_{t-2}
|
||||
\]
|
||||
ainsi~:
|
||||
\[
|
||||
\tilde y_t = y_t-\varphi_1 y_{t-1}-\varphi_2 y_{t-2}
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \tilde y_t = \beta x_t + \varepsilon_t- \beta\varphi_1 x_{t-1} - \varphi\varepsilon_{t-1} - \beta\varphi_2 x_{t-2} - \varphi_2\varepsilon_{t-2}
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \tilde y_t = \beta \tilde x_t + \varepsilon_t - \varphi_1\varepsilon_{t-1} - \varphi_2\varepsilon_{t-2}
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
\Leftrightarrow \tilde y_t = \beta \tilde x_t + \nu_t
|
||||
\]
|
||||
Ici l'estimateur est efficace car $\nu_t$ n'est pas autocorrélé (il
|
||||
n'y a pas d'hétéroscédasticité car la variance est constante, elle ne
|
||||
dépend pas de $t$). \question Il s'agit d'un estimateur des
|
||||
MCG. \question Si les paramètres $\varphi_1$ et $\varphi_2$ ne sont
|
||||
pas connus, on peut les estimer dans une première étape. En estimant
|
||||
le modèle original, par les MCO on récupère les résidus estimés et on
|
||||
estime le modèle autorégressif~:
|
||||
\[
|
||||
\hat\varepsilon_t = \varphi_1\hat\varepsilon_{t-1} + \varphi_2\hat\varepsilon_{t-2} + \nu_t
|
||||
\]
|
||||
On utilise alors $\hat\varphi_1$ et $\hat\varphi_2$ pour transformer
|
||||
les données comme décrit plus haut. On peut reprendre la procédure
|
||||
plusierus fois tant que les estimations pour $\beta$ et les
|
||||
paramètres $\varphi_1$ et $\varphi_2$ changent.
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: t
|
||||
%%% End:
|
||||
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